Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkextproplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlkextproplem3 26271
 Description: Lemma 3 for wwlkextprop 26272. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x 𝑋 = ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))
wwlkextprop.y 𝑌 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐸   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlkextproplem3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 26214 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)))
2 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3 iswwlkn 26212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
42, 3syl3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
5 wwlkprop 26213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
6 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
7 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊))
8 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
10 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14 subadd2 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊)))
1514bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16syl5bb 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
1918biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
2017, 19syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
2120ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
2221com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
24233ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))))
2625imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
28273ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1)))
2928impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
3029opeq2d 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)
3130oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩))
32 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
33 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
34 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
36 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3735, 36addge02d 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
3833, 37mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
39 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
40 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
4139, 40, 40addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
42 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 + 1) = 2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
4443oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4541, 44eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4638, 45breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
48 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4948ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
5047, 49mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑊))
5132, 50jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
52513ad2antr3 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)))
53 wwlkm1edg 26263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
5531, 54eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
5655expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
574, 56sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
58573expia 1259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
5958com23 84 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
6059imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
6261imp 444 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
63 wwlknimp 26215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
64 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
65 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
67 peano2re 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6836, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6968lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
70 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
712, 66, 69, 70syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
73 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
7572, 74eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
7675adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
7764, 76jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
7877ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
79783adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
8063, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
8180ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
8281imp 444 . . . . . . . . . 10 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
83 swrd0len 13274 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
8562, 84jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))
86 iswwlkn 26212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
87863expia 1259 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))))
8887adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))))
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))))
9089imp 444 . . . . . . . 8 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
9185, 90mpbird 246 . . . . . . 7 (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
9291exp41 636 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
9392adantr 480 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
941, 93mpcom 37 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
95 wwlkextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))
9694, 95eleq2s 2706 . . 3 (𝑊𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
97963imp 1249 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
9895wwlkextproplem1 26269 . . . 4 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
99983adant2 1073 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
100 simp2 1055 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
10199, 100eqtrd 2644 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃)
102 fveq1 6102 . . . 4 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
103102eqeq1d 2612 . . 3 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
104 wwlkextprop.y . . 3 𝑌 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
105103, 104elrab2 3333 . 2 ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
10697, 101, 105sylanbrc 695 1 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  wwlkextprop  26272
 Copyright terms: Public domain W3C validator