Theorem wwlkm1edg 26263

Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wwlkm1edg	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))

Proof of Theorem wwlkm1edg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlkprop 26213	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
2		iswwlk 26211	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
6		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
8		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
10		1le2 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ≤ 2
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
12		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
13	5, 7, 9, 11, 12	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊))
14	4, 13	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
15		elnnnn0c 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
16	14, 15	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
17		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ)
18	16, 17	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
19		nn0ge2m1nn 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
20		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21	19, 20	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
22	18, 21	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
23	3, 22	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
24		inelcm 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
26		wrdfn 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
28		fnresdisj 5915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
30		nn0ge2m1nn0 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
31	9	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
32	30, 4, 31	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
33	3, 32	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
34		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
35	33, 34	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
36		swrd0val 13273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
37	36	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
38	37	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
39	35, 38	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
40	29, 39	bitr2d 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
41	40	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
42	25, 41	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
43	42	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
44	43	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
46	45	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
47		swrdcl 13271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
48	47	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
49	48	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
51	50	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
52		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
53		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
55		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
58	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
59		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
60	8, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
61	60	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
63	57, 58, 62	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
64	3, 63	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
65		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
66	64, 65	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
67	8	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
69	30, 4, 68	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
70	3, 69	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
71	70, 34	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
72		swrd0len 13274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
73	72	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
74	71, 73	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
75	74	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
76	66, 75	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)))
77		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
79		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
81	71, 72	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
82	81	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
83	82	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
84	83	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))))
85		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
88	3, 30	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
89		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
90		fzossrbm1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
92	88, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
93	92	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
94	86, 87, 93	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
95		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
97	96	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥))
98	3, 19	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
99		elfzom1p1elfzo 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
100	98, 99	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
101	86, 87, 100	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
102		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
104	103	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)))
105	97, 104	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
106	105	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
107	84, 106	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
108	107	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
109	108	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
110	109	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
111	110	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
112	80, 111	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
113	112	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
114	113	com3l 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
116	115	3imp 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
118	117	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
119	46, 51, 118	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
120		iswwlk 26211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
122	121	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
123	119, 122	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
124	123	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
125	124	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
126	2, 125	sylbid 229	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
127	126	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
128	1, 127	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
129	128	imp 444	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   WWalks cwwlk 26205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlk 26207

This theorem is referenced by:  wwlkextproplem3  26271