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Theorem wwlkextproplem3 30560
Description: Lemma 3 for wwlkextprop 30561. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
hashrabrex.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
hashrabrex.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    w, W
Allowed substitution hints:    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem wwlkextproplem3
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 30318 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 peano2nn0 10619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3 iswwlkn 30316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
42, 3syl3an3 1253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
5 wwlkprop 30317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  W  e. Word  V ) )
6 lencl 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
7 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) )
8 nn0cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
10 ax-1cn 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
12 nn0cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
132, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
159, 11, 143jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC ) )
16 subadd2 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  =  ( N  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) ) )
1716bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
197, 18syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
20 eqcom 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) )
2219, 21syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
256, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
26253ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
275, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
30293ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
3231opeq2d 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>.  =  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )
3332oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )
34 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e.  ( V WWalks  E ) )
35 nn0ge0 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
36 2re 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
38 nn0re 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3937, 38addge02d 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  2  <_  ( N  +  2 ) ) )
4035, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( N  +  2 ) )
41 nn0cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4341, 42, 42addassd 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
44 1p1e2 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
4645oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  2 ) )
4743, 46eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  2 ) )
4840, 47breqtrrd 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
50 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  <->  2  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 W )  <->  2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
5249, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
5334, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) ) )
54533ad2antr3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `
 W ) ) )
55 wwlkm1edg 30365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5733, 56eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5857expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
594, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
60593expia 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
6160com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
6261imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
65 wwlknimp 30319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
67 peano2nn0 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
682, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
69 peano2re 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7038, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7170lep1d 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
72 elfz2nn0 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
732, 68, 71, 72syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
75 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... ( # `
 W ) )  =  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
7774, 76eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
7877adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
7966, 78jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
81803adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8265, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
85 swrd0len 12317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) )
8764, 86jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) ) )
88 iswwlkn 30316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
89883expia 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9291imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
9387, 92mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
9493exp41 610 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `
 0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
961, 95mpcom 36 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `  0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
97 hashrabrex.x . . . 4  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
9896, 97eleq2s 2534 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
99983imp 1181 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
10097wwlkextproplem1 30558 . . . 4  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( W `  0
) )
1011003adant2 1007 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 0 ) )
102 simp2 989 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  0 )  =  P )
103101, 102eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  P )
104 fveq1 5689 . . . 4  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
105104eqeq1d 2450 . . 3  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  P  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
106 hashrabrex.y . . 3  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
107105, 106elrab2 3118 . 2  |-  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
10899, 103, 107sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 2971   {cpr 3878   <.cop 3882   class class class wbr 4291   ran crn 4840   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    <_ cle 9418    - cmin 9594   2c2 10370   NN0cn0 10578   ...cfz 11436  ..^cfzo 11547   #chash 12102  Word cword 12220   substr csubstr 12224   WWalks cwwlk 30309   WWalksN cwwlkn 30310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-word 12228  df-substr 12232  df-wwlk 30311  df-wwlkn 30312
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  30561
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