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Theorem wwlkextproplem3 25519
Description: Lemma 3 for wwlkextprop 25520. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
wwlkextprop.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    w, W
Allowed substitution hints:    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem wwlkextproplem3
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 25462 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 peano2nn0 10938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3 iswwlkn 25460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
42, 3syl3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
5 wwlkprop 25461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  W  e. Word  V ) )
6 lencl 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
7 eqcom 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) )
8 nn0cn 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
98adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
10 1cnd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
11 nn0cn 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1312adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
14 subadd2 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  =  ( N  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) ) )
1514bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
169, 10, 13, 15syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
177, 16syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
18 eqcom 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
1918biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) )
2017, 19syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2120ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2221com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
24233ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
255, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2625imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
28273ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2928impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
3029opeq2d 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>.  =  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )
3130oveq2d 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )
32 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e.  ( V WWalks  E ) )
33 nn0ge0 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
34 2re 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
36 nn0re 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3735, 36addge02d 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  2  <_  ( N  +  2 ) ) )
3833, 37mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( N  +  2 ) )
39 nn0cn 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
40 1cnd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4139, 40, 40addassd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
42 1p1e2 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
4443oveq2d 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  2 ) )
4541, 44eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  2 ) )
4638, 45breqtrrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
4746adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
48 breq2 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  <->  2  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
4948ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 W )  <->  2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
5047, 49mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
5132, 50jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) ) )
52513ad2antr3 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `
 W ) ) )
53 wwlkm1edg 25511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5531, 54eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5655expcom 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
574, 56sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
58573expia 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
5958com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
6059imp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6160adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6261imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
63 wwlknimp 25463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
64 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
65 peano2nn0 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
662, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
67 peano2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6836, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6968lep1d 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
70 elfz2nn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
712, 66, 69, 70syl3anbrc 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7271adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
73 oveq2 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7473adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... ( # `
 W ) )  =  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
7572, 74eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
7675adantll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
7764, 76jca 539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
7877ex 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
79783adant3 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8063, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) )
8180ad2antlr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8281imp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
83 swrd0len 12814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) )
8562, 84jca 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) ) )
86 iswwlkn 25460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
87863expia 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
8887adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
8988adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9089imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
9185, 90mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
9291exp41 619 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
9392adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `
 0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
941, 93mpcom 37 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `  0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
95 wwlkextprop.x . . . 4  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
9694, 95eleq2s 2557 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
97963imp 1208 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
9895wwlkextproplem1 25517 . . . 4  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( W `  0
) )
99983adant2 1033 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 0 ) )
100 simp2 1015 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  0 )  =  P )
10199, 100eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  P )
102 fveq1 5886 . . . 4  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
103102eqeq1d 2463 . . 3  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  P  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
104 wwlkextprop.y . . 3  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
105103, 104elrab2 3209 . 2  |-  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
10697, 101, 105sylanbrc 675 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   {cpr 3981   <.cop 3985   class class class wbr 4415   ran crn 4853   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    <_ cle 9701    - cmin 9885   2c2 10686   NN0cn0 10897   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945   #chash 12546  Word cword 12688   substr csubstr 12692   WWalks cwwlk 25453   WWalksN cwwlkn 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-hash 12547  df-word 12696  df-substr 12700  df-wwlk 25455  df-wwlkn 25456
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  25520
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