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Theorem wwlkextproplem3 24566
Description: Lemma 3 for wwlkextprop 24567. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
wwlkextprop.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    w, W
Allowed substitution hints:    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem wwlkextproplem3
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24509 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3 iswwlkn 24507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
42, 3syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
5 wwlkprop 24508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  W  e. Word  V ) )
6 lencl 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
7 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) )
8 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
10 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  CC )
12 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
132, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
159, 11, 143jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC ) )
16 subadd2 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( # `  W )  -  1 )  =  ( N  +  1 )  <->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) ) )
1716bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  CC )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  (
# `  W )  <->  ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) ) )
197, 18syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  <->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  =  ( N  +  1 ) ) )
20 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  <->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) )
2219, 21syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
256, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
26253ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) ) )
275, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( W  e.  ( V WWalks  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) ) ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  =  ( ( # `  W )  -  1 ) ) )
30293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  +  1 )  =  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( # `  W
)  -  1 ) )
3231opeq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>.  =  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )
3332oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. ) )
34 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e.  ( V WWalks  E ) )
35 nn0ge0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
36 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
38 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3937, 38addge02d 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <_  N  <->  2  <_  ( N  +  2 ) ) )
4035, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( N  +  2 ) )
41 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
4341, 42, 42addassd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 1  +  1 ) ) )
44 1p1e2 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
4645oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  2 ) )
4743, 46eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  2 ) )
4840, 47breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
50 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
2  <_  ( # `  W
)  <->  2  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
5150ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 W )  <->  2  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
5249, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
5334, 52jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) ) )
54533ad2antr3 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `
 W ) ) )
55 wwlkm1edg 24558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  2  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W
)  -  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( ( # `  W )  -  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5733, 56eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) )
5857expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
594, 58sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) ) )
60593expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
6160com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) ) )
6261imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E ) )
65 wwlknimp 24510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
66 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V
)
67 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
682, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
69 peano2re 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7038, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
7170lep1d 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
72 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
732, 68, 71, 72syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
75 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ... ( # `
 W ) )  =  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
7774, 76eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
7877adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
7966, 78jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
81803adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8265, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
85 swrd0len 12629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) )
8764, 86jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) ) )
88 iswwlkn 24507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
89883expia 1198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9291imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
9387, 92mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( W `
 0 )  =  P )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
9493exp41 610 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `
 0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
961, 95mpcom 36 . . . 4  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( W `  0 )  =  P  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
97 wwlkextprop.x . . . 4  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
9896, 97eleq2s 2575 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  (
( W `  0
)  =  P  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
99983imp 1190 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N ) )
10097wwlkextproplem1 24564 . . . 4  |-  ( ( W  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  ( W `  0
) )
1011003adant2 1015 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 0 ) )
102 simp2 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W `  0 )  =  P )
103101, 102eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  0
)  =  P )
104 fveq1 5871 . . . 4  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( w `  0
)  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  0 ) )
105104eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( w  =  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  ->  ( ( w ` 
0 )  =  P  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
106 wwlkextprop.y . . 3  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
107105, 106elrab2 3268 . 2  |-  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  0 )  =  P ) )
10899, 103, 107sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( W `  0 )  =  P  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  Y
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   {cpr 4035   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   2c2 10597   NN0cn0 10807   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   substr csubstr 12519   WWalks cwwlk 24500   WWalksN cwwlkn 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-substr 12527  df-wwlk 24502  df-wwlkn 24503
This theorem is referenced by:  wwlkextprop  24567
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