Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsum 18214
 Description: Telescoping finitely supported group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution. (Contributed by AV, 31-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsum.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsum.m = (-g𝐺)
telgsum.0 0 = (0g𝐺)
telgsum.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
telgsum.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsum.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
telgsum.c (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
telgsum.d (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
telgsum.e (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsum (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   0 ,𝑖,𝑘   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsum
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
2 telgsum.c . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐶)
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐶)
41, 3csbied 3526 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐶)
54eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 peano2nn0 11210 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
8 telgsum.d . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐷)
98adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐷)
107, 9csbied 3526 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐷)
1110eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐷 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
125, 11oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶 𝐷) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1312mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1413oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
15 telgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 telgsum.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
17 telgsum.m . . 3 = (-g𝐺)
18 telgsum.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
19 telgsum.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐵)
20 telgsum.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
21 telgsum.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐴 = 0 ))
2215, 16, 17, 18, 19, 20, 21telgsums 18213 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = 0 / 𝑘𝐴)
23 c0ex 9913 . . . 4 0 ∈ V
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ V)
25 telgsum.e . . . 4 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3526 . 2 (𝜑0 / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2814, 22, 273eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 𝐷))) = 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  -gcsg 17247  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator