MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eftlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eftlub 14678
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eftl.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11228 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
54eftlcl 14676 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 3, 5syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76abscld 14023 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
81abscld 14023 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 eftl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109reeftlcl 14677 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
118, 3, 10syl2anc 691 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
128, 3reexpcld 12887 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13 peano2nn0 11210 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
16 faccl 12932 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
173, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1817, 2nnmulcld 10945 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
1915, 18nndivred 10946 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
2012, 19remulcld 9949 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
21 eqid 2610 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
222nnzd 11357 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqidd 2611 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
24 eluznn0 11633 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
253, 24sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
264eftval 14646 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2726adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
28 eftcl 14643 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
291, 28sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3027, 29eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3125, 30syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
324eftlcvg 14675 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
331, 3, 32syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3421, 22, 23, 31, 33isumclim2 14331 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘))
35 eqidd 2611 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
369eftval 14646 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
38 reeftcl 14644 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
398, 38sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4125, 40syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4241recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
438recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
449eftlcvg 14675 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4543, 3, 44syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4621, 22, 35, 42, 45isumclim2 14331 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
47 eftabs 14645 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
481, 47sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4927fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
5048, 49, 373eqtr4rd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5125, 50syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5221, 34, 46, 22, 31, 51iserabs 14388 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
53 nn0uz 11598 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
54 0zd 11266 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
552nncnd 10913 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
56 nn0cn 11179 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
57 nn0ex 11175 . . . . . . . 8 0 ∈ V
5857mptex 6390 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
599, 58eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
6059shftval4 13665 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6155, 56, 60syl2an 493 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
62 nn0addcl 11205 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
633, 62sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
649eftval 14646 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
6563, 64syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
668adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67 reeftcl 14644 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6866, 63, 67syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6965, 68eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
70 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
7170oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
72 eftl.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
73 ovex 6577 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7574adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7612, 17nndivred 10946 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
7776adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
782peano2nnd 10914 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
7978nnrecred 10943 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
80 reexpcl 12739 . . . . . 6 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8179, 80sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8277, 81remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
8366, 63reexpcld 12887 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8412adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
85 faccl 12932 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8663, 85syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8786nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8887, 82remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
893adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
90 uzid 11578 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
9122, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
92 uzaddcl 11620 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
9391, 92sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
941absge0d 14031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
9594adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
96 eftl.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9796adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9866, 89, 93, 95, 97leexp2rd 12904 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
9917adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
100 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10178, 100sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10299, 101nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
103102nnred 10912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
1048, 3, 94expge0d 12888 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
10512, 104jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
106105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
107 faclbnd6 12948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
1083, 107sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
109 lemul1a 10756 . . . . . . . . . 10 (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
110103, 87, 106, 108, 109syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
11187, 84remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
112102nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
11384, 111, 112lemuldiv2d 11798 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
114110, 113mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
11586nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
11612recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
117116adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
118102nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
119102nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≠ 0)
120115, 117, 118, 119divassd 10715 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
12178nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
12378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
124123nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
125 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
127122, 124, 126exprecd 12878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
128127oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
12976recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
131101nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
132101nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ≠ 0)
133130, 131, 132divrecd 10683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
13417nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
136 facne0 12935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
1373, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ≠ 0)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≠ 0)
139117, 135, 131, 138, 132divdiv1d 10711 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
140128, 133, 1393eqtr2rd 2651 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
141140oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
142120, 141eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
143114, 142breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14483, 84, 88, 98, 143letrd 10073 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14586nngt0d 10941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
146 ledivmul 10778 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
14783, 82, 87, 145, 146syl112anc 1322 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
148144, 147mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14965, 148eqbrtrd 4605 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
150 0z 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
15122znegcld 11360 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
15259seqshft 13673 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
153150, 151, 152sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
154 0cn 9911 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
155 subneg 10209 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
156154, 155mpan 702 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
157 addid2 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
158156, 157eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
15955, 158syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
160159seqeq1d 12669 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
161160, 46eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
162 seqex 12665 . . . . . . . 8 seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
163 climshft 14155 . . . . . . . 8 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
164151, 162, 163sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
165161, 164mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
166 ovex 6577 . . . . . . 7 (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V
167 sumex 14266 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ V
168166, 167breldm 5251 . . . . . 6 ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
169165, 168syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
170153, 169eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
1712nnge1d 10940 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
172 1nn 10908 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
173 nnleltp1 11309 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
174172, 2, 173sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
175171, 174mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
17614nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
17715, 176absidd 14009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
178175, 177breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
179 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
180 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ V
18170, 179, 180fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
182181adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
183121, 178, 182georeclim 14442 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
18481recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
185182, 184eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
186182oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
18775, 186eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
18853, 54, 129, 183, 185, 187isermulc2 14236 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
189 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
190 pncan 10166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
19155, 189, 190sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
192191oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
193192oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
19415, 2nndivred 10946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
195194recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
196116, 195, 134, 137div23d 10717 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
197193, 196eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
198116, 195, 134, 137divassd 10715 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
1992nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
200121, 55, 134, 199, 137divdiv1d 10711 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
20155, 134mulcomd 9940 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
202201oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
203200, 202eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
204203oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
205197, 198, 2043eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
206188, 205breqtrd 4609 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
207 seqex 12665 . . . . . 6 seq0( + , 𝐻) ∈ V
208 ovex 6577 . . . . . 6 (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ V
209207, 208breldm 5251 . . . . 5 (seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
210206, 209syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
21153, 54, 61, 69, 75, 82, 149, 170, 210isumle 14415 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
212 eqid 2610 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ‘(0 + 𝑀))
213 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
21455addid2d 10116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
215214fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
216215eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
217216biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
218217, 42syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
21953, 212, 213, 22, 54, 218isumshft 14410 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
220215sumeq1d 14279 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
221219, 220eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
22282recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
22353, 54, 75, 222, 206isumclim 14330 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
224211, 221, 2233brtr3d 4614 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
2257, 11, 20, 52, 224letrd 10073 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  seqcseq 12663  cexp 12722  !cfa 12922   shift cshi 13654  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  14753  eirrlem  14771  dveflem  23546  subfaclim  30424
  Copyright terms: Public domain W3C validator