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Theorem eftlub 14240
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
eftl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
eftl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
eftl.5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
eftl.6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
eftlub  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F    k, G    k, M, n    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( k, n)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 eftl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnnn0d 10949 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54eftlcl 14238 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
61, 3, 5syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  CC )
76abscld 13575 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
81abscld 13575 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
9 eftl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
109reeftlcl 14239 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  RR )
118, 3, 10syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  RR )
128, 3reexpcld 12471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  RR )
13 peano2nn0 10934 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
143, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
1514nn0red 10950 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
16 faccl 12507 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
173, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1817, 2nnmulcld 10679 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  M )  x.  M
)  e.  NN )
1915, 18nndivred 10680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 9689 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )  e.  RR )
21 eqid 2471 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
222nnzd 11062 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
24 eluznn0 11251 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
253, 24sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN0 )
264eftval 14208 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
2726adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
28 eftcl 14205 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
291, 28sylan 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
3027, 29eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3125, 30syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
324eftlcvg 14237 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
331, 3, 32syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
3421, 22, 23, 31, 33isumclim2 13896 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  k
) )
35 eqidd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
369eftval 14208 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
3736adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
38 reeftcl 14206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
398, 38sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4125, 40syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4241recnd 9687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
438recnd 9687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
449eftlcvg 14237 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
4543, 3, 44syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4621, 22, 35, 42, 45isumclim2 13896 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
47 eftabs 14207 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
481, 47sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4927fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
5048, 49, 373eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5125, 50syldan 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5221, 34, 46, 22, 31, 51iserabs 13952 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
53 nn0uz 11217 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
54 0zd 10973 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
552nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
56 nn0cn 10903 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
57 nn0ex 10899 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
5857mptex 6152 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  e.  _V
599, 58eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
6059shftval4 13217 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j
)  =  ( G `
 ( M  +  j ) ) )
6155, 56, 60syl2an 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  j ) ) )
62 nn0addcl 10929 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  +  j )  e.  NN0 )
633, 62sylan 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e. 
NN0 )
649eftval 14208 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) ) )
668adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
67 reeftcl 14206 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( M  +  j
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) )  e.  RR )
6866, 63, 67syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  e.  RR )
6965, 68eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
70 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )
7170oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
72 eftl.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
73 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  _V
7471, 72, 73fvmpt 5963 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( H `
 j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
7574adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
7612, 17nndivred 10680 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  RR )
7776adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  RR )
782peano2nnd 10648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
7978nnrecred 10677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR )
80 reexpcl 12327 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
)  e.  RR )
8179, 80sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  RR )
8277, 81remulcld 9689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  RR )
8366, 63reexpcld 12471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  e.  RR )
8412adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  RR )
85 faccl 12507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( M  +  j ) )  e.  NN )
8663, 85syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  NN )
8786nnred 10646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
8887, 82remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) )  e.  RR )
893adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
90 uzid 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9122, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
92 uzaddcl 11238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9391, 92sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
941absge0d 13583 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
9594adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
96 eftl.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
9796adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  <_  1
)
9866, 89, 93, 95, 97leexp2rd 12487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( abs `  A
) ^ M ) )
9917adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  NN )
100 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 ) ^ j
)  e.  NN )
10178, 100sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  NN )
10299, 101nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  NN )
103102nnred 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR )
1048, 3, 94expge0d 12472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M ) )
10512, 104jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
106105adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ M ) ) )
107 faclbnd6 12522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
1083, 107sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
109 lemul1a 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR  /\  ( ! `  ( M  +  j )
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )  /\  ( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
110103, 87, 106, 108, 109syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  M
)  x.  ( ( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) ) )
11187, 84remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  e.  RR )
112102nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR+ )
11384, 111, 112lemuldiv2d 11411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  <_  ( ( ! `
 ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A
) ^ M ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ M
)  <_  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
114110, 113mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  /  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  +  1 ) ^
j ) ) ) )
11586nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  CC )
11612recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  CC )
117116adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  CC )
118102nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  CC )
119102nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =/=  0
)
120115, 117, 118, 119divassd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
12178nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
12378adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
124123nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
125 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
127122, 124, 126exprecd 12462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  =  ( 1  /  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) )
128127oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
12976recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  CC )
130129adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  CC )
131101nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  CC )
132101nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  =/=  0 )
133130, 131, 132divrecd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13417nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  CC )
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
136 facne0 12509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  =/=  0 )
1373, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  =/=  0 )
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  =/=  0
)
139117, 135, 131, 138, 132divdiv1d 10436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
140128, 133, 1393eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
141140oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
142120, 141eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
143114, 142breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14483, 84, 88, 98, 143letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14586nngt0d 10675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
146 ledivmul 10503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  ( M  +  j )
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j ) )  / 
( ! `  ( M  +  j )
) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
14783, 82, 87, 145, 146syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
148144, 147mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
14965, 148eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
150 0z 10972 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
15122znegcld 11065 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  ZZ )
15259seqshft 13225 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  seq 0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  =  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M ) )
153150, 151, 152sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  =  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M ) )
154 0cn 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
155 subneg 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
156154, 155mpan 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
157 addid2 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  +  M )  =  M )
158156, 157eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  M )
15955, 158syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u M
)  =  M )
160159seqeq1d 12257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  =  seq M (  +  ,  G ) )
161160, 46eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  ~~> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
162 seqex 12253 . . . . . . . 8  |-  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  e.  _V
163 climshft 13717 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u M  e.  ZZ  /\ 
seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  e.  _V )  -> 
( (  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
164151, 162, 163sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
165161, 164mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
166 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  (  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  _V
167 sumex 13831 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  e.  _V
168166, 167breldm 5045 . . . . . 6  |-  ( (  seq ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  ->  (  seq ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  dom  ~~>  )
169165, 168syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
dom 
~~>  )
170153, 169eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  e. 
dom 
~~>  )
1712nnge1d 10674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
172 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
173 nnleltp1 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
174172, 2, 173sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
175171, 174mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( M  +  1 ) )
17614nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  +  1 ) )
17715, 176absidd 13561 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( M  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
178175, 177breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  ( M  +  1 ) ) )
179 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )
180 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e. 
_V
18170, 179, 180fvmpt 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
182181adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
183121, 178, 182georeclim 14005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) )
18481recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  CC )
185182, 184eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  e.  CC )
186182oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) `  j ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
18775, 186eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
18853, 54, 129, 183, 185, 187isermulc2 13798 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) ) )
189 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
190 pncan 9901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
19155, 189, 190sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
192191oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  M ) )
193192oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
19415, 2nndivred 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  RR )
195194recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  CC )
196116, 195, 134, 137div23d 10442 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
197193, 196eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  /  M ) )  / 
( ! `  M
) ) )
198116, 195, 134, 137divassd 10440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  / 
( ! `  M
) ) ) )
1992nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
200121, 55, 134, 199, 137divdiv1d 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) ) )
20155, 134mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( ! `  M )
)  =  ( ( ! `  M )  x.  M ) )
202201oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )
203200, 202eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )
204203oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
205197, 198, 2043eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
206188, 205breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
207 seqex 12253 . . . . . 6  |-  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  _V
208 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  e. 
_V
209207, 208breldm 5045 . . . . 5  |-  (  seq 0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  )
210206, 209syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
21153, 54, 61, 69, 75, 82, 149, 170, 210isumle 13979 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
212 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )
213 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  ( M  +  j )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  j
) ) )
21455addid2d 9852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
215214fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
216215eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
217216biimpa 492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
218217, 42syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
21953, 212, 213, 22, 54, 218isumshft 13974 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) ) )
220215sumeq1d 13844 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
221219, 220eqtr3d 2507 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
22282recnd 9687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  CC )
22353, 54, 75, 222, 206isumclim 13895 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
224211, 221, 2233brtr3d 4425 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
2257, 11, 20, 52, 224letrd 9809 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182    seqcseq 12251   ^cexp 12310   !cfa 12497    shift cshi 13206   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  14315  eirrlem  14333  dveflem  23010  subfaclim  29983
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