Theorem ef01bndlem 14753

Description: Lemma for sin01bnd 14754 and cos01bnd 14755. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9874	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 9965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 12107	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1069	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 9899	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 11188	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 14676	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 14023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 12739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 10974	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 9932	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 12932	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 11064	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 10921	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 10933	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 9900	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 11066	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 10933	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 13882	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 13874	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 11715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mulid2d 9937	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 14678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 4609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 9919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 10976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 10461	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addid2i 10103	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 11043	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3nn 11063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
64	63	nncni 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
65	59, 64	addcomi 10106	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
66	61, 62, 65	3eqtr2ri 2639	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
67	58, 60, 66	3brtr3i 4612	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
68		2re 10967	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
69		1le2 11118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
70		4z 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
71		3lt4 11074	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
72	55, 17, 71	ltleii 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
73	63	nnzi 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
74	73	eluz1i 11571	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
75	70, 72, 74	mpbir2an 957	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
76		leexp2a 12778	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
77	68, 69, 75, 76	mp3an 1416	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
78		8re 10982	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
79	61, 78	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
80		2nn 11062	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
81		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
82	80, 10, 81	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
83	82	nnrei 10906	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
84	56, 79, 83	ltletri 10044	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
85	67, 77, 84	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
86		6re 10978	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
87	86, 83	remulcli 9933	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
88		6pos 10996	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
89	82	nngt0i 10931	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
90	86, 83, 88, 89	mulgt0ii 10049	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
91	56, 83, 87, 90	ltdiv1ii 10832	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
92	85, 91	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
93		df-5 10959	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
94		df-4 10958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
95	94	fveq2i 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
96		3nn0 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
97		facp1 12927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
99		sq2 12822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
100	99, 94	eqtr2i 2633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
101	100	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
102	95, 98, 101	3eqtri 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
103	102	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
104	99	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
105		fac3 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
106		6cn 10979	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
107	105, 106	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
108	17	recni 9931	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
109	99, 108	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
110	107, 109, 109	mulassi 9928	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111	103, 104, 110	3eqtr3i 2640	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
112		2p2e4 11021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
113	112	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
114		2cn 10968	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
115		2nn0 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
116		expadd 12764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
117	114, 115, 115, 116	mp3an 1416	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
118	113, 117	eqtr3i 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
119	118	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
120	105	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
121	111, 119, 120	3eqtr2ri 2639	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
122	93, 121	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
123	82	nncni 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
124	123	mulid2i 9922	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
125	124	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
126	82	nnne0i 10932	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ≠ 0
127	123, 126	dividi 10637	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
128	127	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
129		ax-1cn 9873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
130	86, 88	gt0ne0ii 10443	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ≠ 0
131	129, 106, 123, 123, 130, 126	divmuldivi 10664	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
132	86, 130	rereccli 10669	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
133	132	recni 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
134	133	mulid1i 9921	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
135	128, 131, 134	3eqtr3i 2640	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	125, 135	eqtr3i 2634	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
137	92, 122, 136	3brtr3i 4612	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
138		rpexpcl 12741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139	38, 70, 138	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
140		elrp 11710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
141		ltmul2 10753	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	24, 132, 141	mp3an12 1406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	140, 142	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	139, 143	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
145	137, 144	mpbii 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
146	16	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
147		divrec 10580	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	106, 130, 147	mp3an23 1408	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	146, 148	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
150	145, 149	breqtrrd 4611	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
151	14, 26, 29, 52, 150	lelttrd 10074	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  8c8 10953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  (,]cioc 12047  ↑cexp 12722  !cfa 12922  abscabs 13822  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755