Theorem nnrecred 10943

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 10934	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   / cdiv 10563  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  trireciplem  14433  trirecip  14434  geo2sum  14443  geo2lim  14445  bpolydiflem  14624  ege2le3  14659  eftlub  14678  eirrlem  14771  prmreclem6  15463  lmnn  22869  bcthlem5  22933  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem4  23291  taylthlem2  23932  logtayl  24206  leibpi  24469  amgmlem  24516  emcllem1  24522  emcllem2  24523  emcllem3  24524  emcllem5  24526  harmoniclbnd  24535  harmonicubnd  24536  harmonicbnd4  24537  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem1  24555  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem5  24559  lgamucov  24564  ftalem4  24602  ftalem5  24603  basellem6  24612  basellem7  24613  basellem9  24615  chpchtsum  24744  logfaclbnd  24747  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  dchrisum0fno1  25000  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  vmalogdivsum2  25027  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd2  25076  padicabvf  25120  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  subfacval3  30425  cvmliftlem13  30532  poimirlem29  32608  opnmbllem0  32615  heiborlem7  32786  irrapxlem4  36407  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543  stoweidlem30  38923  stoweidlem38  38931  stoweidlem44  38937  vonioolem1  39571  smflimlem3  39659  amgmlemALT  42358