Theorem rexuzre 13940

Description: Convert an upper real quantifier to an upper integer quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuzre	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexuzre

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
2		rexuz3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleq2s 2706	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → 𝑗 ∈ ℝ)
5		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
6	5, 2	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
8	7, 2	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
9		eluz 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
10	6, 8, 9	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
11	10	biimprd 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
12	11	expimpd 627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
13	12	imim1d 80	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑)))
14	13	exp4a 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝜑) → (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))))
15	14	ralimdv2 2944	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
16	15	imp 444	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
17	4, 16	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
18	17	reximi2 2993	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
19		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		flcl 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑗) ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℤ)
23	22, 19	ifcld 4081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
24		zre 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
25		reflcl 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (⌊‘𝑗) ∈ ℝ)
26		peano2re 10088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑗) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
28		max1 11890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
29	24, 27, 28	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
30		eluz2 11569	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
31	19, 23, 29, 30	syl3anbrc 1239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 2	syl6eleqr 2699	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
33		impexp 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
34		uzss 11584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 2	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) ⊆ 𝑍)
37	36	sselda 3568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ∈ ℝ)
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
40	39	zred 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
41		eluzelre 11574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
44	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ)
45	23	zred 11358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
46		fllep1 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1))
48		max2 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑗) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
49	24, 27, 48	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑗) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
50	43, 44, 45, 47, 49	letrd 10073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))
52		eluzle 11576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ≤ 𝑘)
54	38, 40, 42, 51, 53	letrd 10073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → 𝑗 ≤ 𝑘)
55	37, 54	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘))
56	55	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
57	56	imim1d 80	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
58	33, 57	syl5bir 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 → (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)) → 𝜑)))
59	58	ralimdv2 2944	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
60		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀)))
61	60	raleqdv 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑))
62	61	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑗) + 1), ((⌊‘𝑗) + 1), 𝑀))𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑)
63	32, 59, 62	syl6an 566	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
64	63	rexlimdva 3013	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑))
65		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
66	65	raleqdv 3121	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
67	66	cbvrexv 3148	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
68	64, 67	syl6ib 240	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
69	18, 68	impbid2 215	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ⌊cfl 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455

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