Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nznngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nznngen 37537
Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nznngen.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
nznngen (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldvds 37536 . . . . . . . 8 Rel ∥
2 relimasn 5407 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
43ineq1i 3772 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
5 dfrab2 3862 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
64, 5eqtr4i 2635 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}
76eleq2i 2680 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥})
8 rabid 3095 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥))
9 nznngen.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 nnz 11276 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11 absdvdsb 14838 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
129, 10, 11syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13 zabscl 13901 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15 dvdsle 14870 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1614, 15sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1712, 16sylbid 229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1817impr 647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
198, 18sylan2b 491 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
208simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 11357 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22 eluz 11577 . . . . . 6 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2314, 21, 22syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2419, 23mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
257, 24sylan2b 491 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
2625ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁))))
2726ssrdv 3574 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900  cin 3539  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  cima 5041  Rel wrel 5043  cfv 5804  cle 9954  cn 10897  cz 11254  cuz 11563  abscabs 13822  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator