Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzss 37538
Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n (𝜑𝑁𝑉)
Assertion
Ref Expression
nzss (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem nzss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzss.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 nzss.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
3 iddvds 14833 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
4 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑀𝑥𝑀𝑀))
54elabg 3320 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥} ↔ 𝑀𝑀))
63, 5mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥})
7 reldvds 37536 . . . . . . . . 9 Rel ∥
8 relimasn 5407 . . . . . . . . 9 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥}
106, 9syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11 ssel 3562 . . . . . . 7 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
1210, 11syl5 33 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁𝑥𝑁𝑀))
14 relimasn 5407 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1613, 15elab2g 3322 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1712, 16mpbidi 230 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1817com12 32 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
1918adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
20 ssid 3587 . . . . . . 7 {0} ⊆ {0}
21 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑁𝑀)
22 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23 dvdszrcl 14826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2423simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℤ)
25 0dvds 14840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝑀 → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2722, 26sylan9bbr 733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑁𝑀𝑀 = 0))
2821, 27mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
2928breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑀𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30 0dvds 14840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥𝑥 = 0))
3129, 30sylan9bb 732 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 = 0))
3231rabbidva 3163 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33 0z 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
34 rabsn 4200 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
3632, 35syl6eq 2660 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {0})
37 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
3837rabbidv 3164 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
3930rabbiia 3161 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
4039, 35eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
4138, 40syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4241adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4336, 42sseq12d 3597 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
4420, 43mpbiri 247 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
4524zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℂ)
4645ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4723simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℤ)
4847zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
5146, 49, 50divcan2d 10682 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5251breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑀𝑛))
5347adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5554biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56553com23 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57563expa 1257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5823, 57sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5958imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6059anabss1 851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6153, 60jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62 muldvds1 14844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
63623expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6461, 63sylan 487 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6552, 64sylbird 249 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑁𝑛))
6665ss2rabdv 3646 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛})
67 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑀𝑛𝑀𝑥))
6867cbvrabv 3172 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥}
69 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑁𝑛𝑁𝑥))
7069cbvrabv 3172 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥}
7166, 68, 703sstr3g 3608 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
7244, 71pm2.61dane 2869 . . . . 5 (𝑁𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
73 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛𝑥𝑀𝑥))
7473rabbidv 3164 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥})
7573abbidv 2728 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
7674, 75eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥}))
77 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) → 𝑛𝑦)
78 dvdszrcl 14826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
7978simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑦𝑦 ∈ ℤ)
8079ancri 573 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
8177, 80impbii 198 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) ↔ 𝑛𝑦)
82 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝑛𝑦))
8382elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
84 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
8584, 82elab 3319 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥} ↔ 𝑛𝑦)
8681, 83, 853bitr4i 291 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥})
8786eqriv 2607 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥}
8876, 87vtoclg 3239 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
8988adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
90 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝑁𝑥))
9190rabbidv 3164 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
9290abbidv 2728 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9391, 92eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥}))
9493, 87vtoclg 3239 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9594adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9689, 95sseq12d 3597 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
9772, 96syl5ib 233 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
989, 15sseq12i 3594 . . . 4 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥})
9997, 98syl6ibr 241 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
10019, 99impbid 201 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1011, 2, 100syl2anc 691 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  {crab 2900  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  cima 5041  Rel wrel 5043  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563  cz 11254  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  nzin  37539
  Copyright terms: Public domain W3C validator