MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Unicode version

Theorem eluz 10455
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10448 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 876 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  uzneg  10460  uztric  10463  uzwo3  10525  fzn  11027  fzsplit2  11032  elfz2nn0  11038  fznn  11070  uzsplit  11073  fzouzsplit  11123  faclbnd  11536  bcval5  11564  fz1isolem  11665  seqcoll  11667  rexuzre  12111  caurcvg  12425  caucvg  12427  summolem2a  12464  fsum0diaglem  12515  climcnds  12586  mertenslem1  12616  ruclem10  12793  isprm3  13043  eulerthlem2  13126  pcpremul  13172  pcdvdsb  13197  pcadd  13213  pcfac  13223  pcbc  13224  prmunb  13237  prmreclem5  13243  vdwnnlem3  13320  lt6abl  15459  ovolunlem1a  19345  mbflimsup  19511  plyco0  20064  plyeq0lem  20082  aannenlem1  20198  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem8  20215  chtublem  20948  bcmax  21015  bpos1lem  21019  bposlem1  21021  fzsplit3  24103  ballotlem2  24699  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemimin  24716  elfzm12  25065  ntrivcvgmullem  25182  prodmolem2a  25213  axlowdimlem16  25800  axlowdimlem17  25801  axlowdim  25804  mblfinlem  26143  incsequz  26342  incsequz2  26343  nacsfix  26656  ellz1  26715  eluzrabdioph  26756  monotuz  26894  expdiophlem1  26982  fmul01  27577  climsuselem1  27600  climsuse  27601  wallispilem5  27685  stirlinglem8  27697  ssfz12  27976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator