MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Unicode version

Theorem eluz 10862
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10853 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 893 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406    <_ cle 9407   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-ov 6083  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850
This theorem is referenced by:  uzneg  10867  uztric  10870  uzwo3  10936  fzn  11453  fzsplit2  11461  elfz2nn0  11467  fznn  11510  uzsplit  11514  fzouzsplit  11568  faclbnd  12050  bcval5  12078  fz1isolem  12198  seqcoll  12200  rexuzre  12824  caurcvg  13138  caucvg  13140  summolem2a  13176  fsum0diaglem  13227  climcnds  13297  mertenslem1  13327  ruclem10  13504  isprm3  13755  eulerthlem2  13840  pcpremul  13893  pcdvdsb  13918  pcadd  13934  pcfac  13944  pcbc  13945  prmunb  13958  prmreclem5  13964  vdwnnlem3  14041  lt6abl  16351  ovolunlem1a  20821  mbflimsup  20986  plyco0  21545  plyeq0lem  21563  aannenlem1  21679  aaliou3lem2  21694  aaliou3lem8  21696  chtublem  22435  bcmax  22502  bpos1lem  22506  bposlem1  22508  axlowdimlem16  23026  axlowdimlem17  23027  axlowdim  23030  fzsplit3  25901  ballotlem2  26719  ballotlemfc0  26723  ballotlemfcc  26724  ballotlemimin  26736  elfzm12  27167  ntrivcvgmullem  27263  prodmolem2a  27294  mblfinlem2  28273  incsequz  28488  incsequz2  28489  nacsfix  28893  ellz1  28950  eluzrabdioph  28989  monotuz  29127  expdiophlem1  29215  fmul01  29606  climsuselem1  29626  climsuse  29627  wallispilem5  29710  stirlinglem8  29722  ssfz12  30043  extwwlkfablem2  30517
  Copyright terms: Public domain W3C validator