MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Unicode version

Theorem eluz 10866
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10857 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 900 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854
This theorem is referenced by:  uzneg  10871  uztric  10874  uzwo3  10940  fzn  11458  fzsplit2  11466  elfz2nn0  11472  fznn  11518  uzsplit  11522  fzouzsplit  11576  faclbnd  12058  bcval5  12086  fz1isolem  12206  seqcoll  12208  rexuzre  12832  caurcvg  13146  caucvg  13148  summolem2a  13184  fsum0diaglem  13235  climcnds  13306  mertenslem1  13336  ruclem10  13513  isprm3  13764  eulerthlem2  13849  pcpremul  13902  pcdvdsb  13927  pcadd  13943  pcfac  13953  pcbc  13954  prmunb  13967  prmreclem5  13973  vdwnnlem3  14050  lt6abl  16362  ovolunlem1a  20959  mbflimsup  21124  plyco0  21640  plyeq0lem  21658  aannenlem1  21774  aaliou3lem2  21789  aaliou3lem8  21791  chtublem  22530  bcmax  22597  bpos1lem  22601  bposlem1  22603  axlowdimlem16  23171  axlowdimlem17  23172  axlowdim  23175  fzsplit3  26046  ballotlem2  26840  ballotlemfc0  26844  ballotlemfcc  26845  ballotlemimin  26857  elfzm12  27289  ntrivcvgmullem  27385  prodmolem2a  27416  mblfinlem2  28400  incsequz  28615  incsequz2  28616  nacsfix  29019  ellz1  29076  eluzrabdioph  29115  monotuz  29253  expdiophlem1  29341  fmul01  29732  climsuselem1  29751  climsuse  29752  wallispilem5  29835  stirlinglem8  29847  ssfz12  30168  extwwlkfablem2  30642
  Copyright terms: Public domain W3C validator