Theorem swrdccat2 13310

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 13212	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		swrdcl 13271	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3		wrdf 13165	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵)
4		ffn 5958	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩):(0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)))⟶𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))))
6		lencl 13179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		nn0uz 11598	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
10	7	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
11		uzid 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
13		lencl 13179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
15		uzaddcl 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
16	12, 14, 15	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆)))
17		elfzuzb 12207	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑆))))
18	9, 16, 17	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
19	7, 14	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℕ0)
20	19, 8	syl6eleq 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
21	19	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ)
22		uzid 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
24		elfzuzb 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↔ (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
25	20, 23, 24	sylanbrc 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
26		ccatlen 13213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
27	26	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
28	25, 27	eleqtrrd 2691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
29		swrdlen 13275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
30	1, 18, 28, 29	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))
31	7	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
32	14	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
33	31, 32	pncan2d 10273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)) = (#‘𝑇))
34	30, 33	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)) = (#‘𝑇))
35	34	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) = (0..^(#‘𝑇)))
36	35	fneq2d 5896	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇))))
37	5, 36	mpbid 221	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) Fn (0..^(#‘𝑇)))
38		wrdf 13165	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
39	38	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
40		ffn 5958	. . 3 ⊢ (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
41	39, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
42	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
43	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
44	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
45	33	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑇)))
46	45	eleq2d 2673	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
47	46	biimpar 501	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆))))
48		swrdfv 13276	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − (#‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
49	42, 43, 44, 47, 48	syl31anc 1321	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))))
50		ccatval3 13216	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
51	50	3expa 1257	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (#‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
52	49, 51	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
53	37, 41, 52	eqfnfvd 6222	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(#‘𝑆), ((#‘𝑆) + (#‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158

This theorem is referenced by:  ccatopth  13322