Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccat1 13309
 Description: Recover the left half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrdccat1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem swrdccat1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13212 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 lencl 13179 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 11598 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
53, 4syl6eleq 2698 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
6 ccatlen 13213 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
73nn0zd 11356 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
8 uzid 11578 . . . . . . 7 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
10 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
12 uzaddcl 11620 . . . . . 6 (((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
139, 11, 12syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
146, 13eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)))
15 elfzuzb 12207 . . . 4 ((#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) ↔ ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆))))
165, 14, 15sylanbrc 695 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
17 swrd0val 13273 . . 3 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (#‘𝑆) ∈ (0...(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
181, 16, 17syl2anc 691 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
19 wrdf 13165 . . . . 5 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇):(0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵)
20 ffn 5958 . . . . 5 ((𝑆 ++ 𝑇):(0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))⟶𝐵 → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
211, 19, 203syl 18 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
22 fzoss2 12365 . . . . 5 ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑆)) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
2314, 22syl 17 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
24 fnssres 5918 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) Fn (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) ∧ (0..^(#‘𝑆)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) Fn (0..^(#‘𝑆)))
2521, 23, 24syl2anc 691 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) Fn (0..^(#‘𝑆)))
26 wrdf 13165 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
28 ffn 5958 . . . 4 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
30 fvres 6117 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
3130adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘))
32 ccatval1 13214 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
33323expa 1257 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑘) = (𝑆𝑘))
3431, 33eqtrd 2644 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
3525, 29, 34eqfnfvd 6222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
3618, 35eqtrd 2644 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨0, (#‘𝑆)⟩) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158 This theorem is referenced by:  ccatopth  13322  reuccats1  13332  wwlknextbi  26253  wwlkextsur  26259  clwwlkfo  26325  wwlksnextbi  41100  wwlksnextsur  41106  clwwlksfo  41225
 Copyright terms: Public domain W3C validator