Theorem fnssres 5918

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 5917	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	biimpar 501	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ⊆ wss 3540   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-res 5050  df-fun 5806  df-fn 5807

This theorem is referenced by:  fnresin1  5919  fnresin2  5920  fssres  5983  fvreseq0  6225  fnreseql  6235  ffvresb  6301  fnressn  6330  soisores  6477  oprres  6700  ofres  6811  fnsuppres  7209  tfrlem1  7359  tz7.48lem  7423  tz7.49c  7428  resixp  7829  ixpfi2  8147  dfac12lem1  8848  ackbij2lem3  8946  cfsmolem  8975  alephsing  8981  ttukeylem3  9216  iunfo  9240  fpwwe2lem8  9338  mulnzcnopr  10552  seqfeq2  12686  seqf1olem2  12703  swrd0len  13274  swrdccat1  13309  bpolylem  14618  reeff1  14689  eucalg  15138  sscres  16306  fullsubc  16333  fullresc  16334  funcres2c  16384  dmaf  16522  cdaf  16523  frmdplusg  17214  frmdss2  17223  gass  17557  dprdfadd  18242  mgpf  18382  prdscrngd  18436  subrgascl  19319  mdetrsca  20228  upxp  21236  uptx  21238  cnmpt1st  21281  cnmpt2nd  21282  cnextfres1  21682  prdstmdd  21737  ressprdsds  21986  prdsxmslem2  22144  xrsdsre  22421  itg1addlem4  23272  recosf1o  24085  resinf1o  24086  dvdsmulf1o  24720  eupath2lem3  26506  sspg  26967  ssps  26969  sspmlem  26971  sspn  26975  hhssnv  27505  1stpreimas  28866  cnre2csqlem  29284  rmulccn  29302  raddcn  29303  carsggect  29707  subiwrdlen  29775  signsvtn0  29973  signstres  29978  bnj1253  30339  bnj1280  30342  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem5  30420  cvmlift2lem9a  30539  nodenselem6  31085  filnetlem4  31546  finixpnum  32564  poimirlem4  32583  poimirlem8  32587  ftc1anclem3  32657  isdrngo2  32927  diaintclN  35365  dibintclN  35474  dihintcl  35651  imaiinfv  36274  fnwe2lem2  36639  aomclem6  36647  deg1mhm  36804  resincncf  38760  icccncfext  38773  dvnprodlem1  38836  fourierdlem42  39042  fourierdlem73  39072  pfxccat1  40273  1wlkres  40879  rnghmresfn  41755  rnghmsscmap2  41765  rnghmsscmap  41766  rhmresfn  41801  rhmsscmap2  41811  rhmsscmap  41812  fdivmpt  42132