Theorem uzid 10863

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 10638	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 9894	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 546	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 10853	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 232	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   <_ cle 9407   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850

This theorem is referenced by:  uzn0  10864  uz11  10871  uzinfmi  10922  uzsupss  10935  eluzfz1  11445  eluzfz2  11446  elfz3  11448  elfz1end  11466  fzssp1  11488  fzp1ss  11491  fzpr  11496  fztp  11497  fzolb  11542  fzosplitsnm1  11592  fzofzp1  11608  fzosplitsn  11617  fzostep1  11619  om2uzuzi  11756  axdc4uzlem  11788  seqf  11811  seqfveq  11814  seq1p  11824  faclbnd3  12052  bcm1k  12075  bcn2  12079  seqcoll  12200  ccatass  12270  swrds1  12329  swrdccat1  12335  swrdccat2  12336  splfv1  12381  splval2  12383  revccat  12390  rexuz3  12820  r19.2uz  12823  cau3lem  12826  caubnd2  12829  climconst  13005  climuni  13014  isercoll2  13130  climsup  13131  climcau  13132  serf0  13142  iseralt  13146  fsumcvg3  13190  fsumparts  13252  o1fsum  13259  abscvgcvg  13265  isum1p  13287  isumrpcl  13289  isumsup2  13292  climcndslem1  13295  climcndslem2  13296  climcnds  13297  cvgrat  13326  mertenslem1  13327  eftlub  13376  rpnnen2lem11  13490  bitsfzo  13614  bitsinv1  13621  smupval  13667  seq1st  13729  algr0  13730  eucalg  13745  oddprm  13865  pcfac  13944  pcbc  13945  vdwlem6  14030  prmlem0  14116  gsumprval  15494  gsumccat  15499  efginvrel2  16204  efgsres  16215  lmconst  18707  lmmo  18826  zfbas  19311  uzrest  19312  iscau2  20630  iscau4  20632  caun0  20634  caussi  20650  equivcau  20653  lmcau  20665  mbfsup  20984  mbfinf  20985  mbflimsup  20986  plyco0  21545  dvply2g  21636  geolim3  21690  aaliou3lem2  21694  aaliou3lem3  21695  ulm2  21735  ulm0  21741  ulmcaulem  21744  ulmcau  21745  ulmss  21747  ulmcn  21749  ulmdvlem3  21752  ulmdv  21753  abelthlem7  21788  ppinprm  22375  chtnprm  22377  ppiublem1  22426  chtublem  22435  chtub  22436  bposlem6  22513  lgsqr  22570  lgseisenlem4  22576  lgsquadlem1  22578  lgsquad2  22584  pntpbnd1  22720  pntlemf  22739  ostth2lem2  22768  axlowdimlem17  23027  3v3e3cycl1  23353  esumcvg  26389  dya2ub  26539  dya2icoseg  26546  sseqmw  26622  sseqf  26623  ballotlemfp1  26722  signstfvp  26820  ntrivcvgn0  27260  fprodabs  27331  fprodefsum  27332  iprodefisumlem  27351  binomfallfaclem2  27390  mblfinlem2  28273  sdclem1  28483  fdc  28485  seqpo  28487  incsequz2  28489  geomcau  28499  bfplem2  28566  eq0rabdioph  28960  rexrabdioph  28977  jm3.1lem1  29211  fmul01lt1lem1  29610  climinf  29625  climsuse  29627  stoweidlem7  29648  wallispilem1  29706  wallispilem4  29709  zpnn0elfzo  30067  clwwlkvbij  30309  numclwlk2lem2f  30542