MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzostep1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzostep1 12446
Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzostep1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))

Proof of Theorem fzostep1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12337 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 uzid 11578 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ (ℤ𝐵))
3 peano2uz 11617 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵))
4 fzoss1 12364 . . . 4 ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)) ⊆ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
6 1z 11284 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 12388 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
86, 7mpan2 703 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ ((𝐵 + 1)..^(𝐶 + 1)))
95, 8sseldd 3569 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)))
10 elfzoel2 12338 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
11 elfzolt3 12349 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
12 zre 11258 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
13 zre 11258 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
14 ltle 10005 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1512, 13, 14syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
161, 10, 15syl2anc 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
1711, 16mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵𝐶)
18 eluz2 11569 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
191, 10, 17, 18syl3anbrc 1239 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
20 fzosplitsni 12444 . . 3 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
2119, 20syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^(𝐶 + 1)) ↔ ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶)))
229, 21mpbid 221 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → ((𝐴 + 1) ∈ (𝐵..^𝐶) ∨ (𝐴 + 1) = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cz 11254  cuz 11563  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  17737
  Copyright terms: Public domain W3C validator