Theorem eluzfz2 12220

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 11578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluzfz 12208	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
5	3, 4	mpdan 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12221  elfzubelfz  12224  fzopth  12249  fzsuc  12258  fseq1p1m1  12283  fzm1  12289  fzneuz  12290  fzoend  12425  uzindi  12643  seqcl2  12681  seqfveq2  12685  seqshft2  12689  monoord  12693  monoord2  12694  seqsplit  12696  seqcaopr3  12698  seqf1olem2a  12701  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  seqid2  12709  seqhomo  12710  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  wrdeqs1cat  13326  swrdccatin12lem2  13340  swrdccatin12lem3  13341  swrdccatin12  13342  splid  13355  spllen  13356  splval2  13359  summolem2a  14293  fsumm1  14324  telfsumo  14375  telfsumo2  14376  fsumparts  14379  prodfn0  14465  prodfrec  14466  prodmolem2a  14503  fprodm1  14536  sadadd  15027  sadass  15031  smuval2  15042  vdwlem6  15528  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  efgcpbllemb  17991  frgpuplem  18008  telgsumfzslem  18208  telgsumfzs  18209  pmatcollpw3fi1lem1  20410  chfacfisf  20478  chfacfisfcpmat  20479  iscmet3lem1  22897  iscmet3lem2  22898  voliunlem1  23125  volsup  23131  mbfi1fseqlem3  23290  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  chtub  24737  dchrisum0flb  24999  pntpbnd1  25075  pntlemf  25094  spthonepeq  26117  constr3pthlem3  26185  wwlknext  26252  eupap1  26503  konigsberg  26514  submatres  29200  madjusmdetlem1  29221  madjusmdetlem2  29222  madjusmdetlem3  29223  madjusmdetlem4  29224  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemfrci  29916  gsumnunsn  29942  wrdsplex  29944  cvmliftlem10  30530  supfz  30866  fwddifnp1  31442  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem16  32595  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem31  32610  volsupnfl  32624  sdclem2  32708  fdc  32711  mettrifi  32723  iunincfi  38300  fmul01lt1lem2  38652  dvnmul  38833  dvnprodlem3  38838  stoweidlem3  38896  stoweidlem11  38904  stoweidlem17  38910  stoweidlem34  38927  fourierdlem15  39015  fourierdlem25  39025  fourierdlem50  39049  fourierdlem52  39051  fourierdlem54  39053  fourierdlem65  39064  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  fourierdlem102  39101  fourierdlem111  39110  fourierdlem113  39112  fourierdlem114  39113  etransclem35  39162  sge0p1  39307  carageniuncllem1  39411  caratheodorylem1  39416  smfmullem4  39679  smonoord  39944  pfxccatin12lem2  40287  pfxccatin12  40288  ssfz12  40351  elfzlble  40357  spthonepeq-av  40958  wwlksnext  41099