Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscau2 22883
 Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 22882 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2 elfvdm 6130 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 9896 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 7759 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65simprbda 651 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6301 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
98rexbidv 3034 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11 uzid 11578 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
13 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
1613, 15anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1716rspcv 3278 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19 n0i 3879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20 blf 22022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
23 ndmovg 6715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
2423ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2625con1d 138 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)))
27 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2819, 26, 27syl56 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
2928adantld 482 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3029ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3118, 30syld 46 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3214eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3314oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)))
3433breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
3513, 32, 343anbi123d 1391 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3635rspcv 3278 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3712, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
38 simp2 1055 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
3937, 38syl6 34 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
40 rpxr 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
41 elbl 22003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
4240, 41syl3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
43 xmetsym 21962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
44433expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
45443adantl3 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4645breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
4746pm5.32da 671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
4842, 47bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
49483com23 1263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5049anbi2d 736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
51 3anass 1035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5250, 51syl6bbr 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5352ralbidv 2969 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
54533expia 1259 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5554adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5631, 39, 55pm5.21ndd 368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5756rexbidva 3031 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5857adantlr 747 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5910, 58bitrd 267 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6059ralbidva 2968 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6160pm5.32da 671 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
621, 61bitrd 267 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  Caucca 22859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-cau 22862 This theorem is referenced by:  iscau3  22884  iscau4  22885  caun0  22887  caussi  22903
 Copyright terms: Public domain W3C validator