Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl 22003
 Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 22001 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
21eleq2d 2673 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3 oveq2 6557 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
43breq1d 4593 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
54elrab 3331 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
62, 5syl6bb 275 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-xr 9957  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562 This theorem is referenced by:  elbl2  22005  xblpnf  22011  bldisj  22013  blgt0  22014  xblss2  22017  blhalf  22020  xblcntr  22026  xbln0  22029  blin  22036  blss  22040  blres  22046  imasf1obl  22103  prdsbl  22106  blcls  22121  metcnp  22156  dscopn  22188  cnbl0  22387  bl2ioo  22403  blcvx  22409  xrsmopn  22423  recld2  22425  cnheibor  22562  nmhmcn  22728  lmmbr2  22865  iscau2  22883  dvlip2  23562  psercn  23984  abelth  23999  logtayl  24206  logtayl2  24208  poimirlem29  32608  heicant  32614  iooabslt  38568  limcrecl  38696  islpcn  38706  qndenserrnbllem  39190
 Copyright terms: Public domain W3C validator