Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbl 22106
 Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 22120) - for a counterexample the point 𝑝 in ℝ↑ℕ whose 𝑛-th coordinate is 1 − 1 / 𝑛 is in X𝑛 ∈ ℕball(0, 1) but is not in the 1-ball of the product (since 𝑑(0, 𝑝) = 1). The last assumption, 0 < 𝐴, is needed only in the case 𝐼 = ∅, when the right side evaluates to {∅} and the left evaluates to ∅ if 𝐴 ≤ 0 and {∅} if 0 < 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbl.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsbl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsbl.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsbl.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsbl.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
prdsbl.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsbl.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
prdsbl.p (𝜑𝑃𝐵)
prdsbl.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
prdsbl.g (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
prdsbl (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) = X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables 𝑓 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑊)
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
65ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑅)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 15964 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 𝑉)
98eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 𝑉))
109biimpa 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓X𝑥𝐼 𝑉)
11 ixpfn 7800 . . . . . 6 (𝑓X𝑥𝐼 𝑉𝑓 Fn 𝐼)
12 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
1312elixp 7801 . . . . . . 7 (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
1413baib 942 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐼 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
1510, 11, 143syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
16 prdsbl.m . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1716adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
18 prdsbl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1918ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝐵)
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 15966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
2322r19.21bi 2916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
243adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑆𝑊)
254adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝐼 ∈ Fin)
266adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
27 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 15966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
2928r19.21bi 2916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
30 elbl2 22005 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑃𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1319 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3231ralbidva 2968 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
33 xmetcl 21946 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑃𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
3417, 23, 29, 33syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
3534ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
36 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))
37 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) → (𝑧 < 𝐴 ↔ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3836, 37ralrnmpt 6276 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ* → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
3935, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
4140adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → 0 < 𝐴)
42 c0ex 9913 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
43 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
4442, 43ralsn 4169 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴)
4541, 44sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴)
46 ralunb 3756 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴))
4720adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → 𝑃𝐵)
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (dist‘𝑌)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 15968 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
51 xrltso 11850 . . . . . . . . . . . . 13 < Or ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → < Or ℝ*)
5336rnmpt 5292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))}
54 abrexfi 8149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))} ∈ Fin)
5553, 54syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin)
5625, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin)
57 snfi 7923 . . . . . . . . . . . . 13 {0} ∈ Fin
58 unfi 8112 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∈ Fin ∧ {0} ∈ Fin) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
5956, 57, 58sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin)
60 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
6142snss 4259 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
6260, 61mpbir 220 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
63 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅)
6534, 36fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))):𝐼⟶ℝ*)
66 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))):𝐼⟶ℝ* → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ ℝ*)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ ℝ*)
68 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
7069snssd 4281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐵) → {0} ⊆ ℝ*)
7167, 70unssd 3751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐵) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
72 fisupcl 8258 . . . . . . . . . . . 12 (( < Or ℝ* ∧ ((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ∈ Fin ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ≠ ∅ ∧ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐵) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
7450, 73eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
75 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃𝐷𝑓) → (𝑧 < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7675rspcv 3278 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐷𝑓) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) → (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7774, 76syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7846, 77syl5bir 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐵) → ((∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 < 𝐴) → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
7945, 78mpan2d 706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))𝑧 < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
8039, 79sylbird 249 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴 → (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
8171adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
82 ssun1 3738 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
83 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ V
8483elabrex 6405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑦 = ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
8685, 53syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))))
8782, 86sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
88 supxrub 12026 . . . . . . . . . 10 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
8981, 87, 88syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
9050adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
9189, 90breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓))
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 21984 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
9392ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
9420ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑃𝐵)
9527adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓𝐵)
96 xmetcl 21946 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵𝑓𝐵) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
9793, 94, 95, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*)
98 xrlelttr 11863 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑓) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
9934, 97, 19, 98syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑓) ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
10091, 99mpand 707 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 → ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
101100ralrimdva 2952 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴))
10280, 101impbid 201 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐵) → (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) < 𝐴 ↔ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴))
10315, 32, 1023bitrrd 294 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐵) → ((𝑃𝐷𝑓) < 𝐴𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
104103pm5.32da 671 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴) ↔ (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))))
105 elbl 22003 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ 𝑃𝐵𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ (𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10692, 20, 18, 105syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ (𝑓𝐵 ∧ (𝑃𝐷𝑓) < 𝐴)))
10721r19.21bi 2916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) ∈ 𝑉)
10818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ*)
109 blssm 22033 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑃𝑥) ∈ 𝑉𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
11016, 107, 108, 109syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
111110ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉)
112 ss2ixp 7807 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝑉X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ X𝑥𝐼 𝑉)
113111, 112syl 17 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ X𝑥𝐼 𝑉)
114113, 8sseqtr4d 3605 . . . . 5 (𝜑X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ⊆ 𝐵)
115114sseld 3567 . . . 4 (𝜑 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) → 𝑓𝐵))
116115pm4.71rd 665 . . 3 (𝜑 → (𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴) ↔ (𝑓𝐵𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))))
117104, 106, 1163bitr4d 299 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) ↔ 𝑓X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴)))
118117eqrdv 2608 1 (𝜑 → (𝑃(ball‘𝐷)𝐴) = X𝑥𝐼 ((𝑃𝑥)(ball‘𝐸)𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794  Fincfn 7841  supcsup 8229  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  Basecbs 15695  distcds 15777  Xscprds 15929  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562 This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  22144  prdstotbnd  32763  prdsbnd2  32764
 Copyright terms: Public domain W3C validator