MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl Structured version   Unicode version

Theorem elbl 20090
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )

Proof of Theorem elbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 20088 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  =  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R } )
21eleq2d 2522 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  A  e.  { x  e.  X  | 
( P D x )  <  R }
) )
3 oveq2 6203 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( P D x )  =  ( P D A ) )
43breq1d 4405 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( P D A )  <  R
) )
54elrab 3218 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R }  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) )
62, 5syl6bb 261 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RR*cxr 9523    < clt 9524   *Metcxmt 17921   ballcbl 17923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-map 7321  df-xr 9528  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-bl 17932
This theorem is referenced by:  elbl2  20092  xblpnf  20098  bldisj  20100  blgt0  20101  xblss2  20104  blhalf  20107  xblcntr  20113  xbln0  20116  blin  20123  blss  20127  blres  20133  imasf1obl  20190  prdsbl  20193  blcls  20208  metcnp  20243  dscopn  20293  cnbl0  20480  bl2ioo  20496  blcvx  20502  xrsmopn  20516  recld2  20518  cnheibor  20654  nmhmcn  20802  lmmbr2  20897  iscau2  20915  dvlip2  21595  psercn  22019  abelth  22034  logtayl  22233  logtayl2  22235  heicant  28569
  Copyright terms: Public domain W3C validator