MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl Structured version   Unicode version

Theorem elbl 19804
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )

Proof of Theorem elbl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 19802 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  =  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R } )
21eleq2d 2500 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  A  e.  { x  e.  X  | 
( P D x )  <  R }
) )
3 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( P D x )  =  ( P D A ) )
43breq1d 4290 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( P D x )  <  R  <->  ( P D A )  <  R
) )
54elrab 3106 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  ( P D x )  < 
R }  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) )
62, 5syl6bb 261 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A  e.  X  /\  ( P D A )  < 
R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RR*cxr 9404    < clt 9405   *Metcxmt 17644   ballcbl 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-map 7204  df-xr 9409  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-bl 17655
This theorem is referenced by:  elbl2  19806  xblpnf  19812  bldisj  19814  blgt0  19815  xblss2  19818  blhalf  19821  xblcntr  19827  xbln0  19830  blin  19837  blss  19841  blres  19847  imasf1obl  19904  prdsbl  19907  blcls  19922  metcnp  19957  dscopn  20007  cnbl0  20194  bl2ioo  20210  blcvx  20216  xrsmopn  20230  recld2  20232  cnheibor  20368  nmhmcn  20516  lmmbr2  20611  iscau2  20629  dvlip2  21308  psercn  21775  abelth  21790  logtayl  21989  logtayl2  21991  heicant  28267
  Copyright terms: Public domain W3C validator