Theorem blin 22036

Description: The intersection of two balls with the same center is the smaller of them. (Contributed by NM, 1-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blin	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Proof of Theorem blin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 21946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
2	1	3expa 1257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3	2	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
4		simplrl 796	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5		simplrr 797	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
6		xrltmin 11887	. . . . 5 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
8	7	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
9		ifcl 4080	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*)
10		elbl 22003	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
11	10	3expa 1257	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
12	9, 11	sylan2 490	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
13		elbl 22003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
14	13	3expa 1257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
15	14	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
16		elbl 22003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
17	16	3expa 1257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
18	17	adantrl 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
19	15, 18	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
20		elin 3758	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)))
21		anandi 867	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆)))
22	19, 20, 21	3bitr4g 302	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑆))))
23	8, 12, 22	3bitr4rd 300	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆))))
24	23	eqrdv 2608	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ*)) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑆)) = (𝑃(ball‘𝐷)if(𝑅 ≤ 𝑆, 𝑅, 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562

This theorem is referenced by:  blin2  22044