Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpcn 38706
 Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
islpcn.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
islpcn (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑥   𝑆,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 22397 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
4 islpcn.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 islpcn.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6 unicntop 38230 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
76islp2 20759 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
83, 4, 5, 7syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
9 cnxmet 22386 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
12 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
131cnfldtopn 22395 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413blnei 22117 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1510, 11, 12, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1615adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
17 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
18 ineq1 3769 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
1918neeq1d 2841 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2019rspcva 3280 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
2116, 17, 20syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
22 n0 3890 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2321, 22sylib 207 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
24 elinel2 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2724eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥𝑆)
2926, 28sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
305adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
3129, 30abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑥)))
32 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 22384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3430, 29, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3531, 34eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
3635adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
37 elinel1 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4011adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
41 rpxr 11716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
43 elbl 22003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4538, 44mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
4645simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
4736, 46eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
4825, 47jca 553 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
4948ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5049adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5150eximdv 1833 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5223, 51mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
53 df-rex 2902 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
5452, 53sylibr 223 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
5554ralrimiva 2949 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
569a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
5713neibl 22116 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5856, 5, 57syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5958simplbda 652 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
6059adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
61 nfv 1830 . . . . . . . 8 𝑒𝜑
62 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑒𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
6361, 62nfan 1816 . . . . . . 7 𝑒(𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
64 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑒 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})
6563, 64nfan 1816 . . . . . 6 𝑒((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
66 nfv 1830 . . . . . 6 𝑒(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅
67 simp1l 1078 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝜑)
68 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝑒 ∈ ℝ+)
6967, 68jca 553 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝜑𝑒 ∈ ℝ+))
70 rspa 2914 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
7170adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
72713adant3 1074 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
73 simp3 1056 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
7453biimpi 205 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
7574ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
76 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
77 nfre1 2988 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
7876, 77nfan 1816 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
79 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛
8078, 79nfan 1816 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
81 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
824adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
83 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
8582, 84sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8685adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ ℂ)
875adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑃 ∈ ℂ)
8887, 85, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
8987, 85abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (abs‘(𝑃𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9088, 89eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9190adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
92 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
9391, 92eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
9486, 93jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
9594adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
9711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9841ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ*)
9996, 97, 98, 43syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
10095, 99mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
101100adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
10281, 101sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥𝑛)
103 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
104102, 103elind 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
105104ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
106105adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10780, 106eximd 2072 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
109 n0 3890 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
110108, 109sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11169, 72, 73, 110syl21anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
1121113exp 1256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
113112adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
11465, 66, 113rexlimd 3008 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
11560, 114mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
116115ralrimiva 2949 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11755, 116impbida 873 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
1188, 117bitrd 267 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  abscabs 13822  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  neicnei 20711  limPtclp 20748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-xms 21935  df-ms 21936 This theorem is referenced by:  limclner  38718
 Copyright terms: Public domain W3C validator