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Theorem islpcn 31848
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
islpcn.p  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
islpcn  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Distinct variable groups:    P, e, x    S, e, x    ph, e, x

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21417 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
4 islpcn.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 islpcn.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6 unicntop 31634 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
76islp2 19773 . . 3  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
83, 4, 5, 7syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
9 cnxmet 21406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
115adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  CC )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
131cnfldtopn 21415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1413blnei 21131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
17 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
18 ineq1 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
1918neeq1d 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) )
2019rspcva 3208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
2116, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
22 n0 3803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
24 elinel2 31626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
264adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  S  C_  CC )
2724eldifad 3483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  S )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  S )
2926, 28sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  CC )
305adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
3129, 30abssubd 13296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
32 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3430, 29, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3531, 34eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
37 elinel1 31627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4011adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
41 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e. 
RR* )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
e  e.  RR* )
43 elbl 21017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4439, 40, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4538, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
4645simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
4736, 46eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
4825, 47jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5049adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5150eximdv 1711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) ) )
5223, 51mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
53 df-rex 2813 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  <->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
5452, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
5554ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
569a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5713neibl 21130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5856, 5, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5958simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
6059adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
61 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ e
ph
62 nfra1 2838 . . . . . . . 8  |-  F/ e A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
6361, 62nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ e ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
64 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ e  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } )
6563, 64nfan 1929 . . . . . 6  |-  F/ e ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
66 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ e ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/)
67 simp1l 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ph )
68 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  e  e.  RR+ )
6967, 68jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ph  /\  e  e.  RR+ ) )
70 rspa 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
7170adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
72713adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
73 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
7453biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  <  e ) )
76 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  e  e.  RR+ )
77 nfre1 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
7876, 77nfan 1929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
79 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n
8078, 79nfan 1929 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
81 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
824adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  S  C_  CC )
83 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( S  \  { P } )  ->  x  e.  S )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  S )
8582, 84sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  CC )
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  CC )
875adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  P  e.  CC )
8887, 85, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
8987, 85abssubd 13296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( abs `  ( P  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9088, 89eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
92 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
9391, 92eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
9486, 93jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
9594adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  <  e ) )
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9711adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  P  e.  CC )
9841ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  e  e.  RR* )
9996, 97, 98, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
10095, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
101100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
10281, 101sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  n )
103 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
104102, 103elind 3684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  ->  ( (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
10780, 106eximd 1883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( E. x ( x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) ) )
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
109 n0 3803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
11169, 72, 73, 110syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
1121113exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
113112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
11465, 66, 113rexlimd 2941 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n  ->  (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
11560, 114mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
116115ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
11755, 116impbida 832 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
1188, 117bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824   RR+crp 11245   abscabs 13079   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532  ℂfldccnfld 18547   Topctop 19521   neicnei 19725   limPtclp 19762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-xms 20949  df-ms 20950
This theorem is referenced by:  limclner  31860
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