Theorem islpcn 37729

Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpcn.s	|- ( ph -> S C_ CC )
islpcn.p	|- ( ph -> P e. CC )

Assertion

Ref	Expression
islpcn	|- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Distinct variable groups:   P, e, x   S, e, x   ph, e, x

Proof of Theorem islpcn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2453	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21816	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
4		islpcn.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
5		islpcn.p	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
6		unicntop 37381	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	islp2 20173	. . 3 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC /\ P e. CC ) -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1269	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
9		cnxmet 21805	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. CC )
12		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	1	cnfldtopn 21814	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	blnei 21529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
16	15	adantlr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
17		simplr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
18		ineq1 3629	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) = ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
19	18	neeq1d 2685	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
20	19	rspcva 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
21	16, 17, 20	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
22		n0 3743	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
23	21, 22	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
24		elinel2 3622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
25	24	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
26	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> S C_ CC )
27	24	eldifad 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
28	27	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. S )
29	26, 28	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. CC )
30	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
31	29, 30	abssubd 13527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
32		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 21803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. CC /\ x e. CC ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
34	30, 29, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
36	35	adantlr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
37		elinel1 3621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
38	37	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
39	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
40	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
41		rpxr 11316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. RR+ -> e e. RR* )
42	41	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> e e. RR* )
43		elbl 21415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
45	38, 44	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
46	45	simprd 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
47	36, 46	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
48	25, 47	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
49	48	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
50	49	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
51	50	eximdv 1766	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
52	23, 51	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
53		df-rex 2745	. . . . 5 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e <-> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
54	52, 53	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
55	54	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
56	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
57	13	neibl 21528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
58	56, 5, 57	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
59	58	simplbda 630	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
60	59	adantlr 722	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
61		nfv 1763	. . . . . . . 8 |- F/ e ph
62		nfra1 2771	. . . . . . . 8 |- F/ e A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
63	61, 62	nfan 2013	. . . . . . 7 |- F/ e ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
64		nfv 1763	. . . . . . 7 |- F/ e n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } )
65	63, 64	nfan 2013	. . . . . 6 |- F/ e ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
66		nfv 1763	. . . . . 6 |- F/ e ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/)
67		simp1l 1033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ph )
68		simp2 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> e e. RR+ )
69	67, 68	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
70		rspa 2757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
71	70	adantll 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
72	71	3adant3 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
73		simp3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
74	53	biimpi 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
75	74	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
76		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfre1 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
78	76, 77	nfan 2013	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
79		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n
80	78, 79	nfan 2013	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
81		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
82	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> S C_ CC )
83		eldifi 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( S \ { P } ) -> x e. S )
84	83	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
85	82, 84	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. CC )
86	85	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. CC )
87	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> P e. CC )
88	87, 85, 33	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
89	87, 85	abssubd 13527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
90	88, 89	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
91	90	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
92		simprr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
93	91, 92	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
94	86, 93	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
95	94	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
96	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
97	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> P e. CC )
98	41	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> e e. RR* )
99	96, 97, 98, 43	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
100	95, 99	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
101	100	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
102	81, 101	sseldd 3435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. n )
103		simprl 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
104	102, 103	elind 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
105	104	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
106	105	adantlr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
107	80, 106	eximd 1962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
108	75, 107	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
109		n0 3743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
110	108, 109	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
111	69, 72, 73, 110	syl21anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
112	111	3exp 1208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
113	112	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
114	65, 66, 113	rexlimd 2873	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
115	60, 114	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
116	115	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
117	55, 116	impbida 844	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
118	8, 117	bitrd 257	1 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   \ cdif 3403   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405   o. ccom 4841   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RR*cxr 9679   < clt 9680   - cmin 9865   RR+crp 11309   abscabs 13309   TopOpenctopn 15332   *Metcxmt 18967   ballcbl 18969  ℂ_fldccnfld 18982   Topctop 19929   neicnei 20125   limPtclp 20162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-xms 21347  df-ms 21348

This theorem is referenced by:  limclner  37742