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Theorem islpcn 31504
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
islpcn.p  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
islpcn  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Distinct variable groups:    P, e, x    S, e, x    ph, e, x

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21159 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
4 islpcn.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 islpcn.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6 unicntop 31336 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
76islp2 19514 . . 3  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
83, 4, 5, 7syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
9 cnxmet 21148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
115adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  CC )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
131cnfldtopn 21157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1413blnei 20873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
18 ineq1 3698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
1918neeq1d 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) )
2019rspcva 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
2116, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
22 n0 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
24 elinel2 31326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
265adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
274adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  S  C_  CC )
2824eldifad 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  S )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  S )
3027, 29sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  CC )
31 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3231cnmetdval 21146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3326, 30, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3430, 26abssubd 13264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3534eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  ( P  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
3633, 35eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
38 elinel1 31327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
409a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4111adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
42 rpxr 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e. 
RR* )
4342ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
e  e.  RR* )
44 elbl 20759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4639, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
4746simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
4837, 47eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
4925, 48jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
5049ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5150adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5251eximdv 1686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) ) )
5323, 52mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
54 df-rex 2823 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  <->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
5553, 54sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
5655ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
5756ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )
58 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) )
599a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
6013neibl 20872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
6159, 5, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
6261adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
6358, 62mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  C_  CC  /\ 
E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
) )
6463simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
6564adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
66 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ e
ph
67 nfra1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/ e A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
6866, 67nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ e ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
69 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ e  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } )
7068, 69nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ e ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
71 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ e ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/)
72 simp1l 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ph )
73 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  e  e.  RR+ )
7472, 73jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ph  /\  e  e.  RR+ ) )
75 rspa 2834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
7675adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
77763adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
78 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
7954biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  <  e ) )
81 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ph  /\  e  e.  RR+ )
82 nfre1 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
8381, 82nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
84 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n
8583, 84nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
86 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
874adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  S  C_  CC )
88 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( S  \  { P } )  ->  x  e.  S )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  S )
9087, 89sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  CC )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  CC )
925adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  P  e.  CC )
9392, 90, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
9492, 90abssubd 13264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( abs `  ( P  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9593, 94eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9695adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
97 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
9896, 97eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
9991, 98jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
10099adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  <  e ) )
101100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
102 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( ph  /\  e  e.  RR+ ) )
1039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
10411adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  P  e.  CC )
10542ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  e  e.  RR* )
106103, 104, 105, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
107100, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
108 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
109107, 108elind 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
111102, 110, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
112101, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
11386, 112sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  n )
114 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
115114adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
116113, 115elind 3693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
117116ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  ->  ( (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
118117adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
11985, 118eximd 1830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( E. x ( x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) ) )
12080, 119mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
121 n0 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
122120, 121sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
12374, 77, 78, 122syl21anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
1241233exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
12670, 71, 125rexlimd 2951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n  ->  (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
12765, 126mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
128127ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
129128ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
13057, 129impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
1318, 130bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RR*cxr 9639    < clt 9640    - cmin 9817   RR+crp 11232   abscabs 13047   TopOpenctopn 14694   *Metcxmt 18273   ballcbl 18275  ℂfldccnfld 18290   Topctop 19263   neicnei 19466   limPtclp 19503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-xms 20691  df-ms 20692
This theorem is referenced by:  limclner  31516
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