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Theorem islpcn 31549
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
islpcn.p  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
islpcn  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Distinct variable groups:    P, e, x    S, e, x    ph, e, x

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21157 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
4 islpcn.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 islpcn.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6 unicntop 31381 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
76islp2 19512 . . 3  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
83, 4, 5, 7syl3anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
9 cnxmet 21146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
115adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  CC )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
131cnfldtopn 21155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1413blnei 20871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
17 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
18 ineq1 3675 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
1918neeq1d 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) )
2019rspcva 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
2116, 17, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
22 n0 3776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
24 elinel2 31371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
264adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  S  C_  CC )
2724eldifad 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  S )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  S )
2926, 28sseldd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  CC )
305adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
3129, 30abssubd 13258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
32 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 21144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3430, 29, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3531, 34eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
37 elinel1 31372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4011adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
41 rpxr 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e. 
RR* )
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
e  e.  RR* )
43 elbl 20757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4439, 40, 42, 43syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4538, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
4645simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
4736, 46eqbrtrd 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
4825, 47jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5049adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5150eximdv 1695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) ) )
5223, 51mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
53 df-rex 2797 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  <->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
5452, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
5554ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
569a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5713neibl 20870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5856, 5, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5958simplbda 624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
6059adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
61 nfv 1692 . . . . . . . 8  |-  F/ e
ph
62 nfra1 2822 . . . . . . . 8  |-  F/ e A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
6361, 62nfan 1912 . . . . . . 7  |-  F/ e ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
64 nfv 1692 . . . . . . 7  |-  F/ e  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } )
6563, 64nfan 1912 . . . . . 6  |-  F/ e ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
66 nfv 1692 . . . . . 6  |-  F/ e ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/)
67 simp1l 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ph )
68 simp2 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  e  e.  RR+ )
6967, 68jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ph  /\  e  e.  RR+ ) )
70 rspa 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
7170adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
72713adant3 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
73 simp3 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
7453biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  <  e ) )
76 nfv 1692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  e  e.  RR+ )
77 nfre1 2902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
7876, 77nfan 1912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
79 nfv 1692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n
8078, 79nfan 1912 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
81 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
824adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  S  C_  CC )
83 eldifi 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( S  \  { P } )  ->  x  e.  S )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  S )
8582, 84sseldd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  CC )
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  CC )
875adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  P  e.  CC )
8887, 85, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
8987, 85abssubd 13258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( abs `  ( P  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9088, 89eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
92 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
9391, 92eqbrtrd 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
9486, 93jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
9594adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  <  e ) )
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9711adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  P  e.  CC )
9841ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  e  e.  RR* )
9996, 97, 98, 43syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
10095, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
101100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
10281, 101sseldd 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  n )
103 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
104102, 103elind 3670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  ->  ( (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
10780, 106eximd 1866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( E. x ( x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) ) )
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
109 n0 3776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
11169, 72, 73, 110syl21anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
1121113exp 1194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
113112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
11465, 66, 113rexlimd 2925 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n  ->  (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
11560, 114mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
116115ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
11755, 116impbida 830 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
1188, 117bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792    \ cdif 3455    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   class class class wbr 4433    o. ccom 4989   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RR*cxr 9625    < clt 9626    - cmin 9805   RR+crp 11224   abscabs 13041   TopOpenctopn 14691   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273  ℂfldccnfld 18288   Topctop 19261   neicnei 19464   limPtclp 19501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-fz 11677  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-rest 14692  df-topn 14693  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-xms 20689  df-ms 20690
This theorem is referenced by:  limclner  31561
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