Theorem islpcn 31504

Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpcn.s	|- ( ph -> S C_ CC )
islpcn.p	|- ( ph -> P e. CC )

Assertion

Ref	Expression
islpcn	|- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Distinct variable groups:   P, e, x   S, e, x   ph, e, x

Proof of Theorem islpcn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21159	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
4		islpcn.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
5		islpcn.p	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
6		unicntop 31336	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	islp2 19514	. . 3 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC /\ P e. CC ) -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
9		cnxmet 21148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11	5	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. CC )
12		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	1	cnfldtopn 21157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	blnei 20873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
17		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
18		ineq1 3698	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) = ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
19	18	neeq1d 2744	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
20	19	rspcva 3217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
21	16, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
22		n0 3799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
24		elinel2 31326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
25	24	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
26	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
27	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> S C_ CC )
28	24	eldifad 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. S )
30	27, 29	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. CC )
31		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
32	31	cnmetdval 21146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. CC /\ x e. CC ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
34	30, 26	abssubd 13264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
35	34	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
36	33, 35	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
37	36	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
38		elinel1 31327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
39	38	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
40	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
41	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
42		rpxr 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e e. RR+ -> e e. RR* )
43	42	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> e e. RR* )
44		elbl 20759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
45	40, 41, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
46	39, 45	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
47	46	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
48	37, 47	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
49	25, 48	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
50	49	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
51	50	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
52	51	eximdv 1686	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
53	23, 52	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
54		df-rex 2823	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e <-> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
55	53, 54	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
56	55	ralrimiva 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
57	56	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
58		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
59	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
60	13	neibl 20872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
61	59, 5, 60	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
62	61	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
63	58, 62	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) )
64	63	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
65	64	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
66		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ e ph
67		nfra1 2848	. . . . . . . . 9 |- F/ e A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
68	66, 67	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ e ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
69		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ e n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } )
70	68, 69	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ e ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
71		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ e ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/)
72		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ph )
73		simp2 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> e e. RR+ )
74	72, 73	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
75		rspa 2834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
76	75	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
77	76	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
78		simp3 998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
79	54	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
80	79	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
81		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ e e. RR+ )
82		nfre1 2928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
83	81, 82	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
84		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n
85	83, 84	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
86		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
87	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> S C_ CC )
88		eldifi 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ( S \ { P } ) -> x e. S )
89	88	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
90	87, 89	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. CC )
91	90	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. CC )
92	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> P e. CC )
93	92, 90, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
94	92, 90	abssubd 13264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
95	93, 94	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
96	95	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
97		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
98	96, 97	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
99	91, 98	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
100	99	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
101	100	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
102		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
103	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
104	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> P e. CC )
105	42	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> e e. RR* )
106	103, 104, 105, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
107	100, 106	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
108		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
109	107, 108	elind 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
110	109	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
111	102, 110, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
112	101, 111	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
113	86, 112	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. n )
114		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
115	114	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
116	113, 115	elind 3693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
117	116	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
118	117	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
119	85, 118	eximd 1830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
120	80, 119	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
121		n0 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
122	120, 121	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
123	74, 77, 78, 122	syl21anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
124	123	3exp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
126	70, 71, 125	rexlimd 2951	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
127	65, 126	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
128	127	ralrimiva 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
129	128	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
130	57, 129	impbid 191	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
131	8, 130	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   \ cdif 3478   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   class class class wbr 4453   o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RR*cxr 9639   < clt 9640   - cmin 9817   RR+crp 11232   abscabs 13047   TopOpenctopn 14694   *Metcxmt 18273   ballcbl 18275  ℂ_fldccnfld 18290   Topctop 19263   neicnei 19466   limPtclp 19503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-xms 20691  df-ms 20692

This theorem is referenced by:  limclner  31516