Theorem islpcn 31549

Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpcn.s	|- ( ph -> S C_ CC )
islpcn.p	|- ( ph -> P e. CC )

Assertion

Ref	Expression
islpcn	|- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Distinct variable groups:   P, e, x   S, e, x   ph, e, x

Proof of Theorem islpcn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21157	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
4		islpcn.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
5		islpcn.p	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
6		unicntop 31381	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	islp2 19512	. . 3 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC /\ P e. CC ) -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1227	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
9		cnxmet 21146	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. CC )
12		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	1	cnfldtopn 21155	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	blnei 20871	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
17		simplr 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
18		ineq1 3675	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) = ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
19	18	neeq1d 2718	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
20	19	rspcva 3192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
21	16, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
22		n0 3776	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
24		elinel2 31371	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
25	24	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
26	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> S C_ CC )
27	24	eldifad 3470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. S )
29	26, 28	sseldd 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. CC )
30	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
31	29, 30	abssubd 13258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
32		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 21144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. CC /\ x e. CC ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
34	30, 29, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
37		elinel1 31372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
38	37	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
39	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
40	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
41		rpxr 11231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. RR+ -> e e. RR* )
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> e e. RR* )
43		elbl 20757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
45	38, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
46	45	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
47	36, 46	eqbrtrd 4453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
48	25, 47	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
49	48	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
50	49	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
51	50	eximdv 1695	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
52	23, 51	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
53		df-rex 2797	. . . . 5 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e <-> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
55	54	ralrimiva 2855	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
56	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
57	13	neibl 20870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
58	56, 5, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
59	58	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
60	59	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
61		nfv 1692	. . . . . . . 8 |- F/ e ph
62		nfra1 2822	. . . . . . . 8 |- F/ e A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
63	61, 62	nfan 1912	. . . . . . 7 |- F/ e ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
64		nfv 1692	. . . . . . 7 |- F/ e n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } )
65	63, 64	nfan 1912	. . . . . 6 |- F/ e ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
66		nfv 1692	. . . . . 6 |- F/ e ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/)
67		simp1l 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ph )
68		simp2 996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> e e. RR+ )
69	67, 68	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
70		rspa 2808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
71	70	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
72	71	3adant3 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
73		simp3 997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
74	53	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
75	74	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
76		nfv 1692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfre1 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
78	76, 77	nfan 1912	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
79		nfv 1692	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n
80	78, 79	nfan 1912	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
81		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
82	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> S C_ CC )
83		eldifi 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( S \ { P } ) -> x e. S )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
85	82, 84	sseldd 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. CC )
86	85	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. CC )
87	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> P e. CC )
88	87, 85, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
89	87, 85	abssubd 13258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
90	88, 89	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
91	90	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
92		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
93	91, 92	eqbrtrd 4453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
94	86, 93	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
95	94	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
96	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
97	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> P e. CC )
98	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> e e. RR* )
99	96, 97, 98, 43	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
100	95, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
101	100	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
102	81, 101	sseldd 3487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. n )
103		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
104	102, 103	elind 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
105	104	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
106	105	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
107	80, 106	eximd 1866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
108	75, 107	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
109		n0 3776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
110	108, 109	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
111	69, 72, 73, 110	syl21anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
112	111	3exp 1194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
113	112	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
114	65, 66, 113	rexlimd 2925	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
115	60, 114	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
116	115	ralrimiva 2855	. . 3 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
117	55, 116	impbida 830	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
118	8, 117	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   E.wex 1597   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   \ cdif 3455   i^i cin 3457   C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   class class class wbr 4433   o. ccom 4989   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RR*cxr 9625   < clt 9626   - cmin 9805   RR+crp 11224   abscabs 13041   TopOpenctopn 14691   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273  ℂ_fldccnfld 18288   Topctop 19261   neicnei 19464   limPtclp 19501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-fz 11677  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-rest 14692  df-topn 14693  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-xms 20689  df-ms 20690

This theorem is referenced by:  limclner  31561