Theorem islpcn 31848

Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpcn.s	|- ( ph -> S C_ CC )
islpcn.p	|- ( ph -> P e. CC )

Assertion

Ref	Expression
islpcn	|- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Distinct variable groups:   P, e, x   S, e, x   ph, e, x

Proof of Theorem islpcn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21417	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
4		islpcn.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
5		islpcn.p	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
6		unicntop 31634	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	islp2 19773	. . 3 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC /\ P e. CC ) -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
9		cnxmet 21406	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. CC )
12		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	1	cnfldtopn 21415	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	blnei 21131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
17		simplr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
18		ineq1 3689	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) = ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
19	18	neeq1d 2734	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
20	19	rspcva 3208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
21	16, 17, 20	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
22		n0 3803	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
24		elinel2 31626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
25	24	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
26	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> S C_ CC )
27	24	eldifad 3483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. S )
29	26, 28	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. CC )
30	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
31	29, 30	abssubd 13296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 21404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. CC /\ x e. CC ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
34	30, 29, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
37		elinel1 31627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
38	37	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
39	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
40	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
41		rpxr 11252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. RR+ -> e e. RR* )
42	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> e e. RR* )
43		elbl 21017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
45	38, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
46	45	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
47	36, 46	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
48	25, 47	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
49	48	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
50	49	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
51	50	eximdv 1711	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
52	23, 51	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
53		df-rex 2813	. . . . 5 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e <-> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
55	54	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
56	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
57	13	neibl 21130	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
58	56, 5, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
59	58	simplbda 624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
60	59	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
61		nfv 1708	. . . . . . . 8 |- F/ e ph
62		nfra1 2838	. . . . . . . 8 |- F/ e A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
63	61, 62	nfan 1929	. . . . . . 7 |- F/ e ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
64		nfv 1708	. . . . . . 7 |- F/ e n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } )
65	63, 64	nfan 1929	. . . . . 6 |- F/ e ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
66		nfv 1708	. . . . . 6 |- F/ e ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/)
67		simp1l 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ph )
68		simp2 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> e e. RR+ )
69	67, 68	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
70		rspa 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
71	70	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
72	71	3adant3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
73		simp3 998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
74	53	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
75	74	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
76		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfre1 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
78	76, 77	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
79		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n
80	78, 79	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
81		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
82	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> S C_ CC )
83		eldifi 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( S \ { P } ) -> x e. S )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
85	82, 84	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. CC )
86	85	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. CC )
87	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> P e. CC )
88	87, 85, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
89	87, 85	abssubd 13296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
90	88, 89	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
91	90	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
92		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
93	91, 92	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
94	86, 93	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
95	94	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
96	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
97	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> P e. CC )
98	41	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> e e. RR* )
99	96, 97, 98, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
100	95, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
101	100	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
102	81, 101	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. n )
103		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
104	102, 103	elind 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
105	104	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
106	105	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
107	80, 106	eximd 1883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
108	75, 107	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
109		n0 3803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
110	108, 109	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
111	69, 72, 73, 110	syl21anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
112	111	3exp 1195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
113	112	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
114	65, 66, 113	rexlimd 2941	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
115	60, 114	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
116	115	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
117	55, 116	impbida 832	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
118	8, 117	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RR*cxr 9644   < clt 9645   - cmin 9824   RR+crp 11245   abscabs 13079   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532  ℂ_fldccnfld 18547   Topctop 19521   neicnei 19725   limPtclp 19762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-xms 20949  df-ms 20950

This theorem is referenced by:  limclner  31860