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Theorem islpcn 37729
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
islpcn.p  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
islpcn  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Distinct variable groups:    P, e, x    S, e, x    ph, e, x

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21816 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
4 islpcn.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 islpcn.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
6 unicntop 37381 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
76islp2 20173 . . 3  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
83, 4, 5, 7syl3anc 1269 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
9 cnxmet 21805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
115adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  P  e.  CC )
12 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
131cnfldtopn 21814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
1413blnei 21529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } ) )
1615adantlr 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
17 simplr 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
18 ineq1 3629 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
1918neeq1d 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  ->  ( (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) )
2019rspcva 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } )  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
2116, 17, 20syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
22 n0 3743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )
2321, 22sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
24 elinel2 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
2524adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
264adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  S  C_  CC )
2724eldifad 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  S )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  S )
2926, 28sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  CC )
305adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
3129, 30abssubd 13527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
32 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3332cnmetdval 21803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3430, 29, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
3531, 34eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
3635adantlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  =  ( P ( abs  o.  -  ) x ) )
37 elinel1 3621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
3837adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4011adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  ->  P  e.  CC )
41 rpxr 11316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e. 
RR* )
4241ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
e  e.  RR* )
43 elbl 21415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  e  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4439, 40, 42, 43syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
4538, 44mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
4645simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
4736, 46eqbrtrd 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
4825, 47jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) ) )  -> 
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
4948ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5049adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  i^i  ( S  \  { P }
) )  ->  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) ) )
5150eximdv 1766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. x  x  e.  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  i^i  ( S 
\  { P }
) )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) ) )
5223, 51mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
53 df-rex 2745 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  <->  E. x
( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
5452, 53sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld ) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
5554ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )  ->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
569a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5713neibl 21528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5856, 5, 57syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } )  <->  ( n  C_  CC  /\  E. e  e.  RR+  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
) )
5958simplbda 630 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
6059adantlr 722 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  ->  E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)
61 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ e
ph
62 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ e A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
6361, 62nfan 2013 . . . . . . 7  |-  F/ e ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
64 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ e  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen ` fld )
) `  { P } )
6563, 64nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ e ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )
66 nfv 1763 . . . . . 6  |-  F/ e ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/)
67 simp1l 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ph )
68 simp2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  e  e.  RR+ )
6967, 68jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ph  /\  e  e.  RR+ ) )
70 rspa 2757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
7170adantll 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
72713adant3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)
73 simp3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
7453biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )
7574ad2antlr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  <  e ) )
76 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ph  /\  e  e.  RR+ )
77 nfre1 2850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  ( S  \  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e
7876, 77nfan 2013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
79 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n
8078, 79nfan 2013 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )
81 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n )
824adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  S  C_  CC )
83 eldifi 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( S  \  { P } )  ->  x  e.  S )
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  S )
8582, 84sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  x  e.  CC )
8685adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  CC )
875adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  ->  P  e.  CC )
8887, 85, 33syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( P  -  x
) ) )
8987, 85abssubd 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( abs `  ( P  -  x )
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9088, 89eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( S  \  { P } ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
9190adantrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( x  -  P
) ) )
92 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )
9391, 92eqbrtrd 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
9486, 93jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( P ( abs 
o.  -  ) x
)  <  e )
)
9594adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  <  e ) )
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9711adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  P  e.  CC )
9841ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  e  e.  RR* )
9996, 97, 98, 43syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  (
x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) x )  < 
e ) ) )
10095, 99mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
) )  ->  x  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) )
101100adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e ) )
10281, 101sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  n )
103 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( S  \  { P } ) )
104102, 103elind 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  /\  ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e ) )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
105104ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n
)  ->  ( (
x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
106105adantlr 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( ( x  e.  ( S  \  { P } )  /\  ( abs `  ( x  -  P ) )  < 
e )  ->  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) ) )
10780, 106eximd 1962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( E. x ( x  e.  ( S 
\  { P }
)  /\  ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) ) )
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) ) )
109 n0 3743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( n  i^i  ( S  \  { P } ) ) )
110108, 109sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e )  /\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
11169, 72, 73, 110syl21anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  e  e.  RR+ 
/\  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n )  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
1121113exp 1208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  ( ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
113112adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) e )  C_  n  ->  ( n  i^i  ( S 
\  { P }
) )  =/=  (/) ) ) )
11465, 66, 113rexlimd 2873 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( E. e  e.  RR+  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) e ) 
C_  n  ->  (
n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) ) )
11560, 114mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  /\  n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) )  -> 
( n  i^i  ( S  \  { P }
) )  =/=  (/) )
116115ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S  \  { P } ) ( abs `  ( x  -  P
) )  <  e
)  ->  A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/) )
11755, 116impbida 844 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  ( TopOpen
` fld
) ) `  { P } ) ( n  i^i  ( S  \  { P } ) )  =/=  (/)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
1188, 117bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  S
)  <->  A. e  e.  RR+  E. x  e.  ( S 
\  { P }
) ( abs `  (
x  -  P ) )  <  e ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    \ cdif 3403    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405    o. ccom 4841   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RR*cxr 9679    < clt 9680    - cmin 9865   RR+crp 11309   abscabs 13309   TopOpenctopn 15332   *Metcxmt 18967   ballcbl 18969  ℂfldccnfld 18982   Topctop 19929   neicnei 20125   limPtclp 20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-xms 21347  df-ms 21348
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