Theorem cnfldtop 22397

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnfldtop	⊢ 𝐽 ∈ Top

Proof of Theorem cnfldtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtopn.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 22396	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	topontopi 20546	1 ⊢ 𝐽 ∈ Top

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567  Topctop 20517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936

This theorem is referenced by:  rerest  22415  recld2  22425  zdis  22427  reperflem  22429  metdcn  22451  ngnmcncn  22456  metdscn2  22468  cncfcn1  22521  cncfcnvcn  22532  icchmeo  22548  cnrehmeo  22560  cnheiborlem  22561  cnheibor  22562  cnllycmp  22563  evth  22566  reparphti  22605  cncmet  22927  resscdrg  22962  mbfimaopn2  23230  ellimc2  23447  limcnlp  23448  limcflflem  23450  limcflf  23451  limccnp  23461  limciun  23464  dvbss  23471  perfdvf  23473  dvreslem  23479  dvres2lem  23480  dvidlem  23485  dvcnp2  23489  dvnres  23500  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvrec  23524  dvmptres  23532  dvexp3  23545  dveflem  23546  dvlipcn  23561  dvcnvrelem2  23585  ftc1cn  23610  dvply1  23843  ulmdvlem3  23960  psercn  23984  pserdvlem2  23986  pserdv  23987  abelth  23999  logcn  24193  dvloglem  24194  dvlog  24197  dvlog2  24199  efopnlem2  24203  efopn  24204  logtayl  24206  dvatan  24462  efrlim  24496  lgamucov  24564  lgamucov2  24565  ftalem3  24601  nmcnc  26935  raddcn  29303  lmlim  29321  cvxpcon  30478  cvxscon  30479  cnllyscon  30481  ivthALT  31500  broucube  32613  ftc1cnnc  32654  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  cnopn  38233  climreeq  38680  limcrecl  38696  islpcn  38706  limcresiooub  38709  limcresioolb  38710  lptioo2cn  38712  lptioo1cn  38713  limclner  38718  fsumcncf  38763  ioccncflimc  38771  cncfuni  38772  icocncflimc  38775  cncfiooicclem1  38779  cncfiooicc  38780  itgsubsticclem  38867  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  dirkercncf  39000  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem62  39061  fourierdlem93  39092  fourierdlem101  39100  fourierdlem113  39112  fouriercnp  39119  fouriersw  39124