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Theorem iscau2 19183
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an abitrary set of upper integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    j, X, k, x

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 19182 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
2 elfvdm 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 cnex 9027 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 6991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65simprbda 607 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  Fun  F )
7 ffvresb 5859 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
98rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
11 uzid 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1211adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
13 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  dom  F  <->  j  e.  dom  F ) )
14 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
1613, 15anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1716rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
19 n0i 3593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  j )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x )  ->  -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) )
20 blf 18390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
21 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  ->  dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  ( ball `  D )  =  ( X  X.  RR* ) )
23 ndmovg 6189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  /\  -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )
)  ->  ( ( F `  j )
( ball `  D )
x )  =  (/) )
2423ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2625con1d 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/)  ->  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* ) ) )
27 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR* )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
2819, 26, 27syl56 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  -> 
( F `  j
)  e.  X ) )
2928adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3118, 30syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3214eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
3314oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  j
) ) )
3433breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  < 
x ) )
3513, 32, 343anbi123d 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3635rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
38 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j
)  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
3937, 38syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
40 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
41 elbl 18371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
4240, 41syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
43 xmetsym 18330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
44433expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
45443adantl3 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
4645breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
) )
4746pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4842, 47bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
49483com23 1159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
51 3anass 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
5250, 51syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5352ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
54533expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5554adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( F `  j
)  e.  X  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5631, 39, 55pm5.21ndd 344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5756rexbidva 2683 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5857adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5910, 58bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6059ralbidva 2682 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6160pm5.32da 623 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
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) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
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( F `  k
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944   RR*cxr 9075    < clt 9076   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   Caucca 19159
This theorem is referenced by:  iscau3  19184  iscau4  19185  caun0  19187  caussi  19203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-cau 19162
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