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Theorem iscau2 21582
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    j, X, k, x

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 21581 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
2 elfvdm 5898 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3 cnex 9585 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65simprbda 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  Fun  F )
7 ffvresb 6063 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
98rexbidv 2978 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
11 uzid 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  dom  F  <->  j  e.  dom  F ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
1613, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1716rspcv 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
19 n0i 3795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  j )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x )  ->  -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) )
20 blf 20776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
21 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  ->  dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  ( ball `  D )  =  ( X  X.  RR* ) )
23 ndmovg 6453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  /\  -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )
)  ->  ( ( F `  j )
( ball `  D )
x )  =  (/) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2625con1d 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/)  ->  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* ) ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR* )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
2819, 26, 27syl56 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  -> 
( F `  j
)  e.  X ) )
2928adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3118, 30syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3214eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
3314oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  j
) ) )
3433breq1d 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  < 
x ) )
3513, 32, 343anbi123d 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3635rspcv 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
38 simp2 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j
)  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
3937, 38syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
40 rpxr 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
41 elbl 20757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
4240, 41syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
43 xmetsym 20716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
44433expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
45443adantl3 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
4645breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
) )
4746pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4842, 47bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
49483com23 1202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5049anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
51 3anass 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
5250, 51syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5352ralbidv 2906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
54533expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( F `  j
)  e.  X  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5631, 39, 55pm5.21ndd 354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5756rexbidva 2975 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5857adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5910, 58bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6059ralbidva 2903 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6160pm5.32da 641 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
621, 61bitrd 253 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   dom cdm 5005    |` cres 5007   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7433   CCcc 9502   RR*cxr 9639    < clt 9640   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273   Caucca 21558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-neg 9820  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-bl 18282  df-cau 21561
This theorem is referenced by:  iscau3  21583  iscau4  21584  caun0  21586  caussi  21602
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