Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsup 23237
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, 𝐵(𝑛, 𝑥) is a function of both 𝑛 and 𝑥, since it is an 𝑛-indexed sequence of functions on 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfsup.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfsup.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfsup.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
mbfsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21anassrs 678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32an32s 842 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
53, 4fmptd 6292 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
6 frn 5966 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 uzid 11578 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
144, 3dmmptd 5937 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1513, 14eleqtrrd 2691 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
16 ne0i 3880 . . . . . 6 (𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5263 . . . . . 6 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1918necon3bii 2834 . . . . 5 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
2017, 19sylib 207 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
21 mbfsup.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
22 ffn 5958 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
24 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑧𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2524ralrn 6270 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
27 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
28 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛
29 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
3027, 28, 29nfbr 4629 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦
31 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑚((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦
32 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3332breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦))
3430, 31, 33cbvral 3143 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦)
35 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
364fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3735, 3, 36syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3837breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
3938ralbidva 2968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4034, 39syl5bb 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4126, 40bitrd 267 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4241rexbidv 3034 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4321, 42mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦)
44 suprcl 10862 . . . 4 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
457, 20, 43, 44syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 mbfsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4745, 46fmptd 6292 . 2 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
49 ltso 9997 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
5049supex 8252 . . . . . . . . . . . . 13 sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V
5146fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴 ∧ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
5248, 50, 51sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
5352breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )))
547, 20, 433jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
5554adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
56 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ)
57 suprlub 10864 . . . . . . . . . . . 12 (((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5855, 56, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5923adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
60 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑡 < 𝑧𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
6160rexrn 6269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
63 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑡
64 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 <
6563, 64, 27nfbr 4629 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
66 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
6732breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6865, 66, 67cbvrex 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
694fvmpt2i 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ( I ‘𝐵))
70 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
7170fvmpt2i 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
7372eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → ( I ‘𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7469, 73sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7574breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7675rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7776adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7868, 77syl5bb 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7962, 78bitrd 267 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
8053, 58, 793bitrd 293 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
8180ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
82 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
83 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑡
84 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 <
85 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
8646, 85nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐺
87 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
8886, 87nffv 6110 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐺𝑧)
8983, 84, 88nfbr 4629 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑡 < (𝐺𝑧)
90 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
91 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9283, 84, 91nfbr 4629 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9390, 92nfrex 2990 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9489, 93nfbi 1821 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
95 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
9695breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
97 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
9897breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9998rexbidv 3034 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10096, 99bibi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
10182, 94, 100cbvral 3143 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10281, 101sylib 207 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
103102r19.21bi 2916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
104 rexr 9964 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℝ*)
105104ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ*)
106 elioopnf 12138 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ* → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
10847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
109108ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
110109biantrurd 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
111107, 110bitr4d 270 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
112105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑡 ∈ ℝ*)
113 elioopnf 12138 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ* → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
1152, 70fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
116115ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ)
117116biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
118117an32s 842 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
119118adantllr 751 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
120114, 119bitr4d 270 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
121120rexbidva 3031 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
122103, 111, 1213bitr4d 299 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
123122pm5.32da 671 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
124 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
12547, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
126125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
127 elpreima 6245 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
128126, 127syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
129 eliun 4460 . . . . . 6 (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
130 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
132 elpreima 6245 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
134133rexbidva 3031 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
135134adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
136 r19.42v 3073 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
137135, 136syl6bb 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
138129, 137syl5bb 271 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
139123, 128, 1383bitr4d 299 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ 𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞))))
140139eqrdv 2608 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) = 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
141 zex 11263 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
142 uzssz 11583 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
143 ssdomg 7887 . . . . . . 7 (ℤ ∈ V → ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ → (ℤ𝑀) ≼ ℤ))
144141, 142, 143mp2 9 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ≼ ℤ
14511, 144eqbrtri 4604 . . . . 5 𝑍 ≼ ℤ
146 znnen 14780 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
147 domentr 7901 . . . . 5 ((𝑍 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ℕ) → 𝑍 ≼ ℕ)
148145, 146, 147mp2an 704 . . . 4 𝑍 ≼ ℕ
149 mbfsup.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
150 mbfima 23205 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
151149, 115, 150syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
152151ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
153152adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
154 iunmbl2 23132 . . . 4 ((𝑍 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
155148, 153, 154sylancr 694 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
156140, 155eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
15747, 156ismbf3d 23227 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  supcsup 8229  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  mbfinf  23238  mbflimsup  23239
 Copyright terms: Public domain W3C validator