MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutlem2 15095
Description: Lemma for bezout 15098. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
bezout.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezout.4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezout.2 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
bezout.5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
Assertion
Ref Expression
bezoutlem2 (𝜑𝐺𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlem2
StepHypRef Expression
1 bezout.2 . 2 𝐺 = inf(𝑀, ℝ, < )
2 bezout.1 . . . . 5 𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))}
3 ssrab2 3650 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3598 . . . 4 𝑀 ⊆ ℕ
5 nnuz 11599 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5sseqtri 3600 . . 3 𝑀 ⊆ (ℤ‘1)
7 bezout.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8 bezout.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
92, 7, 8bezoutlem1 15094 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → (abs‘𝐴) ∈ 𝑀))
10 ne0i 3880 . . . . 5 ((abs‘𝐴) ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅)
119, 10syl6 34 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
12 eqid 2610 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}
1312, 8, 7bezoutlem1 15094 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
14 rexcom 3080 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
157zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
1916, 18mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
208zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
2322ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℂ)
2519, 24addcomd 10117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥)))
2625eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
27262rexbidva 3038 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
2814, 27syl5bb 271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))))
2928rabbidv 3164 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
302, 29syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))})
3130eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀 ↔ (abs‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((𝐵 · 𝑦) + (𝐴 · 𝑥))}))
3213, 31sylibrd 248 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → (abs‘𝐵) ∈ 𝑀))
33 ne0i 3880 . . . . 5 ((abs‘𝐵) ∈ 𝑀𝑀 ≠ ∅)
3432, 33syl6 34 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≠ 0 → 𝑀 ≠ ∅))
35 bezout.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
36 neorian 2876 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
3735, 36sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
3811, 34, 37mpjaod 395 . . 3 (𝜑𝑀 ≠ ∅)
39 infssuzcl 11648 . . 3 ((𝑀 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ≠ ∅) → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
406, 38, 39sylancr 694 . 2 (𝜑 → inf(𝑀, ℝ, < ) ∈ 𝑀)
411, 40syl5eqel 2692 1 (𝜑𝐺𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  {crab 2900  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cn 10897  cz 11254  cuz 11563  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  bezoutlem3  15096  bezoutlem4  15097
  Copyright terms: Public domain W3C validator