MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutlem2 Unicode version

Theorem bezoutlem2 12994
Description: Lemma for bezout 12997. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    M( x, y, z)

Proof of Theorem bezoutlem2
StepHypRef Expression
1 bezout.2 . 2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
2 bezout.1 . . . . 5  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
3 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3338 . . . 4  |-  M  C_  NN
5 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3340 . . 3  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 bezout.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
8 bezout.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
92, 7, 8bezoutlem1 12993 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  ( abs `  A
)  e.  M ) )
10 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
119, 10syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
12 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) }
1312, 8, 7bezoutlem1 12993 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } ) )
14 rexcom 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) )
157zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
17 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
1817ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
1916, 18mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( A  x.  x
)  e.  CC )
208zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
22 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
2322ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
2421, 23mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( B  x.  y
)  e.  CC )
2519, 24addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) )
2625eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x ) ) ) )
27262rexbidva 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2814, 27syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) ) )
2928rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } )
302, 29syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  { z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y
)  +  ( A  x.  x ) ) } )
3130eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  e.  M  <->  ( abs `  B )  e.  {
z  e.  NN  |  E. y  e.  ZZ  E. x  e.  ZZ  z  =  ( ( B  x.  y )  +  ( A  x.  x
) ) } ) )
3213, 31sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  ( abs `  B
)  e.  M ) )
33 ne0i 3594 . . . . 5  |-  ( ( abs `  B )  e.  M  ->  M  =/=  (/) )
3432, 33syl6 31 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  0  ->  M  =/=  (/) ) )
35 bezout.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
36 neorian 2654 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0 )  <->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
3735, 36sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  0  \/  B  =/=  0
) )
3811, 34, 37mpjaod 371 . . 3  |-  ( ph  ->  M  =/=  (/) )
39 infmssuzcl 10515 . . 3  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  =/=  (/) )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M
)
406, 38, 39sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  M )
411, 40syl5eqel 2488 1  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  bezoutlem3  12995  bezoutlem4  12996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
  Copyright terms: Public domain W3C validator