MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser2 14234
Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2ser.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2ser.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser2.5 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2698 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 11617 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzelz 11573 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 clim2ser2.5 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 11568 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
133, 11, 12serf 12691 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6268 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 12665 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
176, 3syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
183uztrn2 11581 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
2019, 12syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
211, 8, 20serf 12691 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6267 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
23 addcl 9897 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
2423adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
25 addass 9902 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
2625adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
27 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
284adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3029, 3syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3130, 12sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3231adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3324, 26, 27, 28, 32seqsplit 12696 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
3414adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
3534, 22addcomd 10117 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
3633, 35eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
371, 8, 9, 14, 16, 22, 36climaddc1 14213 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  cli 14063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067
This theorem is referenced by:  iserex  14235  abelthlem6  23994  abelthlem9  23998  leibpi  24469
  Copyright terms: Public domain W3C validator