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Theorem rescon 30482
 Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rescon.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rescon (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SCon ↔ 𝐽 ∈ Con))

Proof of Theorem rescon
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 30463 . . 3 (𝐽 ∈ SCon → 𝐽 ∈ PCon)
2 pconcon 30467 . . 3 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Con)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SCon → 𝐽 ∈ Con)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
64, 5rerest 22415 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
7 rescon.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
86, 7syl6eqr 2662 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11syl6ss 3580 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13 df-3an 1033 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
1614, 15oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
1716eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
2119, 20oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
2221eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
2524, 11sstri 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℂ
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
2812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29 simpr2 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦𝐴)
3028, 29sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3227, 31mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
34 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
3533, 27, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
3728, 36sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
4032, 39addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41 nncan 10189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
4443oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46 iirev 22536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Con ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con)
49 reconn 22439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5048, 49syl5bb 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5150biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5251r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5352r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5453anasss 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55543adantr3 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
5824, 57sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6036adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝐴)
6159, 60sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6629adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦𝐴)
6759, 66sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 pncan3 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7372oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
7465recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7670, 74, 75adddird 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
7775mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7873, 76, 773eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
7965, 61remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
8180, 63elicc2i 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8257, 81sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8382simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
84 subge0 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8563, 58, 84sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8683, 85mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
87 simplr3 1098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝑦)
8861, 67, 65, 86, 87lemul2ad 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
8979, 68, 62, 88leadd2dd 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9078, 89eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9158, 67remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
9282simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
9361, 67, 58, 92, 87lemul2ad 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
9462, 91, 68, 93leadd1dd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9572oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
9630adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9770, 74, 96adddird 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9896mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
9995, 97, 983eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
10094, 99breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
101 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10261, 67, 101syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10369, 90, 100, 102mpbir3and 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
10456, 103sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
107 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
108 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
109108oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
110107, 109oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
111110eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
112111rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
11347, 106, 112sylc 63 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
11445, 113eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115114ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
116 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
117 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
118117oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
119116, 118oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
120119eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
121120cbvralv 3147 . . . . . . . . . 10 (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
122115, 121sylib 207 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
12318, 23, 10, 122, 105wloglei 10439 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123r19.21bi 2916 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
125124anasss 677 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
12613, 125sylan2b 491 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
127 eqid 2610 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
12812, 126, 4, 127cvxscon 30479 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ SCon)
1299, 128eqeltrrd 2689 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Con) → 𝐽 ∈ SCon)
130129ex 449 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Con → 𝐽 ∈ SCon))
1313, 130impbid2 215 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SCon ↔ 𝐽 ∈ Con))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  Conccon 21024  PConcpcon 30455  SConcscon 30456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-con 21025  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pcon 30457  df-scon 30458 This theorem is referenced by:  iooscon  30483  iccscon  30484  iccllyscon  30486
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