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Theorem cosknegpi 38752
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 ore negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2 2z 11286 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 simpl 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 divides 14823 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
52, 3, 4sylancr 694 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
61, 5mpbid 221 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7 zcn 11259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8 negcl 10160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
10 picn 24015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
119, 10mulcli 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
138, 12mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
1413addid2d 10116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
178, 15, 16mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
1817eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2019, 15mulneg1d 10362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
2120oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
2214, 18, 213eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2519, 15mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26 mulneg12 10347 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2725, 16, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3224, 29, 313eqtrrd 2649 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
3332fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34333adant1 1072 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35 0cnd 9912 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36 znegcl 11289 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37 cosper 24038 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
3835, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39383ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40 iftrue 4042 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
41 cos0 14719 . . . . . . . . 9 (cos‘0) = 1
4240, 41syl6reqr 2663 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43423ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2648 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45443exp 1256 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4645adantl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4746rexlimdv 3012 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49 odd2np1 14903 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
5049biimpa 500 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
5251eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5352adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5415, 19mulcld 9939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56 negpicn 24018 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
5854, 55, 57adddird 9944 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61 mulneg12 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6254, 16, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6362eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
6415, 19mulneg2d 10363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
6515, 8mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
6664, 65eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
6766oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
6863, 67, 173eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
6957mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
7068, 69oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
7113, 57addcomd 10117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7270, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7553, 60, 743eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76753adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7776fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78773adant1r 1311 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79 cosper 24038 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
8056, 36, 79sylancr 694 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81803ad2ant2 1076 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82 iffalse 4045 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
83 cosnegpi 38750 . . . . . . . 8 (cos‘-π) = -1
8482, 83syl6reqr 2663 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8584adantl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86853ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2648 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3015 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 828 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146  2c2 10947  cz 11254  cosccos 14634  πcpi 14636  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
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