Theorem rtrclreclem3 13648

Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rtrclreclem.rel	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
rtrclreclem.rex	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem3	⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 5047	. . 3 ⊢ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2		elopab 4908	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
4	3	anbi1d 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6		simprl 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → 𝜑)
9		rtrclreclem.rel	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
10		rtrclreclem.rex	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
11	9, 10	dfrtrclrec2 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
13	7, 12	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
14		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
15		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
16	9, 10	dfrtrclrec2 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
18	14, 17	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
19		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
22		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
27	21, 26	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
28	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
30	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	29, 31	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
33		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
34	33	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
35	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
36	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
39	38, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
40	38, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑅 ∈ V)
41	39, 40	relexpaddd 13642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
42	35, 36, 41	mp2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
43		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛)))
44	43	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑚 + 𝑛))))
45	42, 44	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
46	34, 45	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))))
47	32, 46	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
48	47	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
49		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓)
52		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)
57		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ 𝑓 ∈ V
58		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓))
59		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ↔ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
60	58, 59	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔)))
61	57, 60	spcev 3273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
62	51, 56, 61	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
63		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑒 ∈ V
64		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 𝑔 ∈ V
65	63, 64	brco 5214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃ℎ(𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)ℎ ∧ ℎ(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔))
66	62, 65	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔)
67		breq 4585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) → (𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔 ↔ 𝑒((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))𝑔))
68	66, 67	syl5ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅↑𝑟𝑚) ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
69	48, 68	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
70		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅↑𝑟𝑖) = (𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚)))
71	70	breqd 4594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔 ↔ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
72	71	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑒(𝑅↑𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
73	69, 72	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
74	27, 73	mpancom 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔)
75		df-br 4584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
76	37, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
77	37, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑅 ∈ V)
78	76, 77	dfrtrclrec2 13645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
79	75, 78	syl5bbr 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑖)𝑔))
80	74, 79	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
81	80	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
82	81	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
83	82	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
84	83	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
85	84	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
86	85	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
87	86	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
88	87	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
89	88	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
90	89	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
91	90	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
92	91	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
93	92	rexlimiv 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅↑𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
94	18, 93	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
95	94	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
96	95	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
97	96	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
98	97	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
99	98	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
100	99	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
101	100	rexlimiv 3009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅↑𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
102	13, 101	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
103	102	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
104	103	expcom 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
105	104	exlimdv 1848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
106	5, 6, 105	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
107		eleq1 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
108	106, 107	syl5ibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
109	4, 108	sylbid 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
110	109	anabsi5 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
111	110	anassrs 678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
112	111	expcom 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
113	112	exlimdvv 1849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒∃𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
114	2, 113	syl5bi 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
115		eleq2 2677	. . . . 5 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
116	115	imbi1d 330	. . . 4 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
117	114, 116	syl5ibr 235	. . 3 ⊢ (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
118	1, 117	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
119	118	ssrdv 3574	1 ⊢ (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ↑_𝑟crelexp 13608  t*reccrtrcl 13643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-relexp 13609  df-rtrclrec 13644

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  13650