Theorem icccvx 22557

Description: A linear combination of two reals lies in the interval between them. Equivalently, a closed interval is a convex set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
icccvx	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))

Proof of Theorem icccvx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccss2 12115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3	2	3adantr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		iccssre 12126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6	5	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantrr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ)
8	5	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
9	8	adantrl 748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐷 ∈ ℝ)
10	7, 9	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
11	10	3adantr3 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ))
12		simpr3 1062	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
13	11, 12	jca 553	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
14		lincmb01cmp 12186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
15	14	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
16	15	3expa 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
17	16	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 < 𝐷) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
18	17	an32s 842	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
19	13, 18	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐶[,]𝐷))
20	4, 19	sseldd 3569	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
21		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → ((1 − 𝑇) · 𝐶) = ((1 − 𝑇) · 𝐷))
22	21	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
23		unitssre 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
24	23	sseli 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
25	24	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
26	25	ad2antll 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
27	8	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	adantrr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ∈ ℂ)
29		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		npcan 10169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
31	29, 30	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
33	32	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (1 · 𝐷))
34		subcl 10159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
35	29, 34	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
36	35	ancri 573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
37		adddir 9910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
38	37	3expa 1257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
39	36, 38	sylan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)))
40		mulid2 9917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (1 · 𝐷) = 𝐷)
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
42	33, 39, 41	3eqtr3d 2652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
43	26, 28, 42	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
44	43	3adantr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐷) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
45	22, 44	sylan9eqr 2666	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = 𝐷)
46		simplr2 1097	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47	45, 46	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐶 = 𝐷) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
48		iccss2 12115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
50	49	ancom2s 840	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
51	50	3adantr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝐷[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
53	9, 7	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
54	53	3adantr3 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
55	54, 12	jca 553	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)))
56		iirev 22536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
57	23, 56	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
58	57	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
59		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
60		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1 − 𝑇) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
62	61	adantll 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) · 𝐶) ∈ ℂ)
63		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
64		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
65	25, 63, 64	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
66	65	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℂ)
67	62, 66	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
68	67	3adantl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
69		nncan 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
70	29, 69	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
71	70	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → 𝑇 = (1 − (1 − 𝑇)))
72	71	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 · 𝐷) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷))
73	72	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
74	25, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → ((𝑇 · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
76	68, 75	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) = (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)))
77		lincmb01cmp 12186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
78	56, 77	sylan2 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐷) + ((1 − 𝑇) · 𝐶)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
79	76, 78	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
80	79	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
81	80	3expa 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (𝑇 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶)))
82	81	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 < 𝐶) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
83	82	an32s 842	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
84	55, 83	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐷[,]𝐶))
85	52, 84	sseldd 3569	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝐷 < 𝐶) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
86	7, 9	lttri4d 10057	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐶 < 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶))
87	86	3adantr3 1215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐶 < 𝐷 ∨ 𝐶 = 𝐷 ∨ 𝐷 < 𝐶))
88	20, 47, 85, 87	mpjao3dan 1387	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
89	88	ex 449	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) · 𝐶) + (𝑇 · 𝐷)) ∈ (𝐴[,]𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-rp 11709  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  reparphti  22605