MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem addcomd 9832
Description: Addition commutes. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
addcomd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
addcomd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )

Proof of Theorem addcomd
StepHypRef Expression
1 1cnd 9656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21, 1addcld 9659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  e.  CC )
3 muld.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 addcomd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
52, 3, 4adddid 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) ) )
63, 4addcld 9659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
7 1p1times 9801 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B
) ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
9 1p1times 9801 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
103, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  A
)  =  ( A  +  A ) )
11 1p1times 9801 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 1  +  1 )  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
124, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
1310, 12oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  +  1 )  x.  A )  +  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) )  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
145, 8, 133eqtr3rd 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) )  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
153, 3addcld 9659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  A
)  e.  CC )
1615, 4, 4addassd 9662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  +  B ) ) )
176, 3, 4addassd 9662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B )  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  ( A  +  B ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B
)  =  ( ( ( A  +  B
)  +  A )  +  B ) )
1915, 4addcld 9659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC )
206, 3addcld 9659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC )
21 addcan2 9815 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  A )  +  B
)  e.  CC  /\  ( ( A  +  B )  +  A
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2219, 20, 4, 21syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  A )  +  B )  +  B )  =  ( ( ( A  +  B )  +  A
)  +  B )  <-> 
( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) ) )
2318, 22mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( ( A  +  B )  +  A ) )
243, 3, 4addassd 9662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  A )  +  B
)  =  ( A  +  ( A  +  B ) ) )
253, 4, 3addassd 9662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  +  A
)  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
2623, 24, 253eqtr3d 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) ) )
274, 3addcld 9659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  +  A
)  e.  CC )
28 addcan 9814 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A  +  B
)  e.  CC  /\  ( B  +  A
)  e.  CC )  ->  ( ( A  +  ( A  +  B ) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) ) )
293, 6, 27, 28syl3anc 1267 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( A  +  B
) )  =  ( A  +  ( B  +  A ) )  <-> 
( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) ) )
3026, 29mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( B  +  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    = wceq 1443    e. wcel 1886  (class class class)co 6288   CCcc 9534   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-ltxr 9677
This theorem is referenced by:  subadd2  9876  pncan  9878  npcan  9881  subcan  9926  addrsub  10036  ltadd1  10078  leadd2  10080  ltsubadd2  10082  lesubadd2  10084  lesub3d  10228  supadd  10572  ltaddrp2d  11369  lincmb01cmp  11772  iccf1o  11773  modaddabs  12132  muladdmodid  12134  negmod  12135  modadd2mod  12137  modadd12d  12143  modaddmulmod  12153  expaddz  12313  bcn2m1  12506  bcn2p1  12507  ccatrn  12730  addlenswrd  12789  spllen  12856  splfv2a  12858  relexpaddnn  13107  relexpaddg  13109  rtrclreclem3  13116  remullem  13184  sqreulem  13415  climaddc2  13692  clim2ser2  13712  iseraltlem2  13742  telfsumo  13855  fsumparts  13859  bcxmas  13886  bpoly4  14105  cosneg  14194  coshval  14202  sinadd  14211  sincossq  14223  cos2t  14225  absefi  14243  absefib  14245  sadadd2lem2  14417  bitsres  14440  bezoutlem2OLD  14497  bezoutlem4OLD  14499  bezoutlem2  14500  bezoutlem4  14502  pythagtrip  14777  pcadd2  14828  vdwapun  14917  vdwlem5  14928  vdwlem6  14929  vdwlem8  14931  gsumccat  16618  mulgnndir  16773  mulgdirlem  16775  mulgdir  16776  sylow1lem1  17243  efgcpbllemb  17398  cygabl  17518  ablfacrp  17692  icccvx  21971  pjthlem1  22384  ovolicc2lem4OLD  22466  ovolicc2lem4  22467  cmmbl  22481  voliunlem1  22496  itgmulc2  22784  dvle  22952  dvcvx  22965  dvfsumlem2  22972  dvfsumlem4  22974  dvfsum2  22979  ply1divex  23080  plymullem1  23161  coeeulem  23171  aaliou3lem6  23297  dvtaylp  23318  ulmcn  23347  abelthlem7  23386  pilem3  23402  pilem3OLD  23403  rzgrp  23496  lawcos  23738  affineequiv  23745  heron  23757  quad2  23758  dcubic1lem  23762  dcubic2  23763  dcubic  23765  mcubic  23766  quart1lem  23774  quart1  23775  asinlem2  23788  asinsin  23811  cosasin  23823  atanlogaddlem  23832  atanlogadd  23833  cvxcl  23903  scvxcvx  23904  lgamgulmlem2  23948  lgamgulmlem3  23949  lgamcvg2  23973  lgam1  23982  bposlem9  24213  lgseisenlem1  24270  2sqlem3  24287  2sqblem  24298  dchrisumlem2  24321  selberg  24379  selberg2  24382  chpdifbndlem1  24384  selberg4  24392  pntrlog2bndlem1  24408  pntrlog2bndlem6  24414  pntibndlem2  24422  pntlemb  24428  pntlemf  24436  padicabv  24461  colinearalglem2  24930  axsegconlem9  24948  axpasch  24964  axeuclidlem  24985  cusgrasizeinds  25197  fargshiftfo  25359  eupath2lem3  25700  numclwlk3lem3  25794  smcnlem  26326  ipval2  26336  hhph  26824  pjhthlem1  27037  golem1  27917  stcltrlem1  27922  addeqxfrd  28315  bhmafibid2  28399  2sqmod  28402  omndmul2  28468  archirngz  28499  archiabllem1a  28501  archiabllem1  28503  archiabllem2c  28505  ballotlemsdom  29337  ballotlemsdomOLD  29375  signshf  29470  rescon  29962  iprodgam  30371  faclimlem1  30372  faclimlem3  30374  faclim  30375  iprodfac  30376  fwddifnp1  30925  bj-bary1  31710  dvtan  31985  itg2addnclem3  31988  itgaddnclem2  31994  itgmulc2nc  32003  ftc1anclem8  32017  dvasin  32021  areacirclem1  32025  pellexlem2  35668  pell14qrgt0  35699  rmxyadd  35763  rmxluc  35778  fzmaxdif  35825  acongeq  35827  jm2.19lem2  35839  jm2.26lem3  35850  areaquad  36095  int-addcomd  36614  int-leftdistd  36620  subadd4b  37486  sub31  37498  fsumsplit1  37645  coseq0  37733  coskpi2  37735  cosknegpi  37738  fperdvper  37784  dvbdfbdioolem2  37795  dvnmul  37812  dvmptfprodlem  37813  itgsincmulx  37845  itgsbtaddcnst  37853  stoweidlem11  37865  stirlinglem5  37934  stirlinglem7  37936  dirkertrigeqlem1  37954  dirkertrigeqlem2  37955  dirkertrigeqlem3  37956  dirkertrigeq  37957  dirkercncflem2  37960  fourierdlem4  37967  fourierdlem26  37989  fourierdlem40  38004  fourierdlem42  38006  fourierdlem42OLD  38007  fourierdlem47  38011  fourierdlem63  38027  fourierdlem64  38028  fourierdlem65  38029  fourierdlem74  38038  fourierdlem75  38039  fourierdlem78  38042  fourierdlem79  38043  fourierdlem84  38048  fourierdlem93  38057  fourierdlem103  38067  fourierdlem111  38075  fourierswlem  38088  fouriersw  38089  etransclem32  38125  etransclem46  38139  sge0gtfsumgt  38279  hoidmv1lelem2  38408  hoidmvlelem2  38412  hspmbllem1  38442  sigarperm  38463  2elfz2melfz  39045  2zrngacmnd  39929  2zrngagrp  39930  ply1mulgsumlem1  40165  m1modmmod  40311  onetansqsecsq  40468  comraddd  40487  mvlladdd  40489
  Copyright terms: Public domain W3C validator