Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladdmodid Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
muladdmodid ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid
StepHypRef Expression
1 0red 9920 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2 rpxr 11716 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ*)
3 elico2 12108 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
41, 2, 3syl2anc 691 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
54adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
6 zcn 11259 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 rpcn 11717 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
8 mulcl 9899 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12113ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1410, 13addcomd 10117 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
1514oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20 simpll 786 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21 modcyc 12567 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2318, 16anim12ci 589 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24 3simpc 1053 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
26 modid 12557 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2723, 25, 26syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2815, 22, 273eqtrd 2648 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
2928ex 449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
305, 29sylbid 229 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31303impia 1253 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by:  modmuladd  12574  addmodid  12580  mod42tp1mod8  40057
 Copyright terms: Public domain W3C validator