Theorem rmxyadd 36504

Description: Addition formula for X and Y sequences. See rmxadd 36510 and rmyadd 36514 for most uses. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxyadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem rmxyadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		zaddcl 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4		rmxyval 36498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
5	1, 3, 4	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)))
6		eluzelz 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		zq 11670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10		qsqcl 12797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
11	7, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
12		zssq 11671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
13		1z 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
14	12, 13	sselii 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℚ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℚ)
16		qsubcl 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
17	11, 15, 16	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ)
18		qcn 11678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	sqrtcld 14024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
21	8, 20	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
22		rmbaserp 36502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
23	22	rpne0d 11753	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
25		simp2 1055	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		simp3 1056	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		expaddz 12766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
28	21, 24, 25, 26, 27	syl22anc 1319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
29		frmx 36496	. . . . . . . . 9 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0)
31	30, 1, 25	fovrnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
32	31	nn0cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
33		frmy 36497	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ)
35	34, 1, 25	fovrnd 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
37	20, 36	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
38	30, 1, 26	fovrnd 6704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
39	38	nn0cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
40	34, 1, 26	fovrnd 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
43	32, 37, 39, 42	muladdd 10368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))))
44		rmxyval 36498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
45	1, 25, 44	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀))
46		rmxyval 36498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
47	1, 26, 46	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
48	45, 47	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
49	43, 48	eqtr3d 2646	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = (((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑀) · ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
50	20, 41, 20, 36	mul4d 10127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
51	19	msqsqrtd 14027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = ((𝐴↑2) − 1))
52	41, 36	mulcomd 9940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
53	51, 52	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
54	50, 53	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
55	54	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
56	32, 20, 41	mul12d 10124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
57	39, 20, 36	mul12d 10124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
58	56, 57	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
59	32, 41	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
60	39, 36	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
61	20, 59, 60	adddid 9943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
62	59, 60	addcomd 10117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
63	39, 36	mulcomd 9940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)))
64	63	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
65	62, 64	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	65	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
67	58, 61, 66	3eqtr2d 2650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
68	55, 67	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) + (((𝐴 Xrm 𝑀) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑀))))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
69	28, 49, 68	3eqtr2d 2650	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑(𝑀 + 𝑁)) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
70	5, 69	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
71		rmspecsqrtnq 36488	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
72	71	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
73		nn0ssq 11672	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
74	30, 1, 3	fovrnd 6704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℕ0)
75	73, 74	sseldi 3566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
76	34, 1, 3	fovrnd 6704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℤ)
77	12, 76	sseldi 3566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ)
78	73, 31	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ)
79	73, 38	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
80		qmulcl 11682	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
81	78, 79, 80	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
82	12, 35	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ)
83	12, 40	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
84		qmulcl 11682	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
85	82, 83, 84	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
86		qmulcl 11682	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
87	17, 85, 86	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
88		qaddcl 11680	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
89	81, 87, 88	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ)
90		qmulcl 11682	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
91	82, 79, 90	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ)
92		qmulcl 11682	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
93	78, 83, 92	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ)
94		qaddcl 11680	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℚ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
95	91, 93, 94	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)
96		qirropth 36491	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) ∈ ℚ) ∧ ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℚ ∧ (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
97	72, 75, 77, 89, 95, 96	syl122anc 1327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)))) = ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
98	70, 97	mpbid 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑀 + 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑁)) + ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℚcq 11664  ↑cexp 12722  √csqrt 13821   X_rm crmx 36482   Y_rm crmy 36483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-squarenn 36423  df-pell1qr 36424  df-pell14qr 36425  df-pell1234qr 36426  df-pellfund 36427  df-rmx 36484  df-rmy 36485

This theorem is referenced by:  rmxadd  36510  rmyadd  36514