Theorem dnibndlem7 31644

Description: Lemma for dnibnd 31651. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
dnibndlem7.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem7	⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Proof of Theorem dnibndlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem7.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		halfre 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5		readdcl 9898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7		reflcl 12459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	8, 1	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
10		resubcl 10224	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℝ)
12	1	dnicld1 31632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
13	11	leabsd 14001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
14	11, 12, 3, 13	lesub2dd 10523	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
15	3	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
16	8	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
17	1	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	subsub3d 10301	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (((1 / 2) + 𝐵) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
19	15, 17	addcomd 10117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + 𝐵) = (𝐵 + (1 / 2)))
20	19	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + 𝐵) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) = ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
21	17, 16, 15	subsub3d 10301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) = ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))))
22	21	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (1 / 2)) − (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) = (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
23	18, 20, 22	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) = (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))
24	14, 23	breqtrd 4609	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ⌊cfl 12453  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  31646