Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibnd 31651
 Description: The "distance to nearest integer" function is Lipshitz continuous. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibnd.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibnd.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibnd.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibnd (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnibnd
StepHypRef Expression
1 dnibnd.1 . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 dnibnd.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 dnibnd.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))))
71, 3, 5, 6dnibndlem13 31650 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
81, 4dnicld2 31633 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℝ)
98recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
101, 2dnicld2 31633 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ ℂ)
129, 11abssubd 14040 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) = (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))))
144adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))
171, 14, 15, 16dnibndlem13 31650 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
182recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
194recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2018, 19abssubd 14040 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
2217, 21breqtrd 4609 . . 3 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
2313, 22eqbrtrd 4605 . 2 ((𝜑 ∧ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
24 halfre 11123 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
262, 25readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 12459 . . . 4 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
294, 25readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30 reflcl 12459 . . . 4 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3228, 31letrid 10068 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∨ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))))
337, 23, 32mpjaodan 823 1 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝐵) − (𝑇𝐴))) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ⌊cfl 12453  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  dnicn  31652  knoppndvlem11  31683
 Copyright terms: Public domain W3C validator