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Theorem iseraltlem2 12431
Description: Lemma for iseralt 12433. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example  S ( 1 )  <_  S (
3 )  <_  S
( 5 )  <_  ... and  ...  <_  S
( 4 )  <_  S ( 2 )  <_  S ( 0 ) (assuming  M  =  0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
2 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
32mul01i 9212 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
41, 3syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
54oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  + 
0 ) )
65fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )
76oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) ) )
87breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1110oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )
1211fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
1312oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
1413breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
16 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
1817fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2019breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
22 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
2322oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  K
) ) )
2423fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )
2524oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
2625breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
28 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
29 uzssz 10461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3028, 29eqsstri 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  ZZ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  C_  ZZ )
3231sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ZZ )
3332zcnd 10332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  CC )
3433addid1d 9222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3534fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
3635oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
37 1re 9046 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3837renegcli 9318 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
39 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
40 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
4139, 40negne0i 9331 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =/=  0
42 reexpclz 11356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4338, 41, 42mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4432, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
45 iseralt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
46 iseralt.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
4731sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
48 reexpclz 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
4938, 41, 48mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
51 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
5251ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5350, 52remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
5446, 53eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5528, 45, 54serfre 11307 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
5655ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
5744, 56remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
5857leidd 9549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
5936, 58eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
6051ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
61392timesi 10057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
6261oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  ( 1  +  1 ) )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  Z )
6463, 28syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
66 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6867zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
69 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
7069adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  CC )
71 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
722, 70, 71sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
732, 39mulcli 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
7568, 72, 74addassd 9066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
7662, 75syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
77 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN0
78 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
79 nn0mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
8077, 78, 79sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
81 uzaddcl 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  n )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8265, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
8329, 82sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ )
8483zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
8539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
8684, 85, 85addassd 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) ) )
872a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
8887, 70, 85adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
9076, 86, 893eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
91 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
93 nn0mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9477, 92, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
95 uzaddcl 10489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9665, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9796, 28syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  Z )
9890, 97eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z )
9960, 98ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
100 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10182, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
102101, 28syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z )
10360, 102ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
10499, 103resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
105 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
10744adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
10855ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
10982, 28syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  Z )
110108, 109ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
111107, 110remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR )
112 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
113112ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
114113ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )
)
115 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )
116115fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
117 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
118116, 117breq12d 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
119118rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
120102, 114, 119sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
12199, 103suble0d 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
122120, 121mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0 )
123104, 106, 111, 122leadd2dd 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 ) )
124 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
125101, 124syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
126 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
12782, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
128127oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
129125, 128eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
13090fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
131110recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
13246ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
133132ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( G `  k )
) )
134 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
135 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
136135, 117oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
137134, 136eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
138137rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
139102, 133, 138sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
140 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
14241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0 )
143141, 142, 83expp1zd 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 ) )
14438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
145144, 142, 83reexpclzd 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
146145recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
147 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
148146, 140, 147sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
149146mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
150143, 148, 1493eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
151150oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
152103recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
153 mulneg12 9428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
154146, 152, 153syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
155139, 151, 1543eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
156103renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
157145, 156remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
158155, 157eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
159158recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
160 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
161 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
162 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
163161, 162oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
164160, 163eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
165164rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16698, 133, 165sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
16783peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ZZ )
168141, 142, 167expp1zd 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
169150oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
) )
170 mul2neg 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  1 ) )
171146, 39, 170sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 ) )
172146mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
173171, 172eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
174168, 169, 1733eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
175174oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
176166, 175eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
177145, 99remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
178176, 177eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
179178recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
180131, 159, 179addassd 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
181129, 130, 1803eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
182181oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
183107recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
184158, 178readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
185184recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
186183, 131, 185adddid 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
187183, 159, 179adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
188155oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) ) )
189156recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
190183, 146, 189mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
191188, 190eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
19287, 68, 70adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( N  +  n ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
193682timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
194193oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( N  +  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
19568, 68, 72addassd 9066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )
196192, 194, 1953eqtrrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )
197196oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) ) )
198 expaddz 11379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
199141, 142, 67, 83, 198syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) ) )
200 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
202 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
203 zaddcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  +  n
)  e.  ZZ )
20432, 202, 203syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  n )  e.  ZZ )
205 expmulz 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( N  +  n
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( N  +  n
) ) )
206141, 142, 201, 204, 205syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) ) )
207 sqneg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
20839, 207ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
209 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
210208, 209eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
211210oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  n
) )
212 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  +  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
213204, 212syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
214211, 213syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
215206, 214eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  1 )
216197, 199, 2153eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  1 )
217216oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
218189mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
219191, 217, 2183eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
220176oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
22199recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
222183, 146, 221mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
223220, 222eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
224216oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
225221mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
226223, 224, 2253eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
227219, 226oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
228152negcld 9354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
229228, 221addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  + 
-u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
230221, 152negsubd 9373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  +  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
231229, 230eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
232187, 227, 2313eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
233232oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
234182, 186, 2333eqtrrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
235111recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  CC )
236235addid1d 9222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
237123, 234, 2363brtr3d 4201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
238108, 97ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
239107, 238remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
24057adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
241 letr 9123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
242239, 111, 240, 241syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
243237, 242mpand 657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
244243expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
245244a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
2469, 15, 21, 27, 59, 245nn0ind 10322 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
247246com12 29 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
2482473impia 1150 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    seq cseq 11278   ^cexp 11337    ~~> cli 12233
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338
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