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Theorem iseraltlem2 13277
Description: Lemma for iseralt 13279. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example  S ( 1 )  <_  S (
3 )  <_  S
( 5 )  <_  ... and  ...  <_  S
( 4 )  <_  S ( 2 )  <_  S ( 0 ) (assuming  M  =  0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
2 2t0e0 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
31, 2syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
43oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  + 
0 ) )
54fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )
65oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) ) )
76breq1d 4409 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
9 oveq2 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
109oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )
1110fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
1211oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
1312breq1d 4409 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
15 oveq2 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1615oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
1716fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1817oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
1918breq1d 4409 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
21 oveq2 6207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
2221oveq2d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  K
) ) )
2322fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )
2423oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
2524breq1d 4409 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
27 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
28 uzssz 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
2927, 28eqsstri 3493 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  ZZ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  C_  ZZ )
3130sselda 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ZZ )
3231zcnd 10858 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  CC )
3332addid1d 9679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3433fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
3534oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
36 neg1rr 10536 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
37 neg1ne0 10537 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =/=  0
38 reexpclz 12001 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
3936, 37, 38mp3an12 1305 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4031, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
41 iseralt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
42 iseralt.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
4330sselda 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
44 reexpclz 12001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
4536, 37, 44mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
47 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
4847ffvelrnda 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4946, 48remulcld 9524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
5042, 49eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5127, 41, 50serfre 11951 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
5251ffvelrnda 5951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
5340, 52remulcld 9524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
5453leidd 10016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
5535, 54eqbrtrd 4419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
5647ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
57 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
58572timesi 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
5958oveq2i 6210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  ( 1  +  1 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  Z )
6160, 27syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
63 eluzelz 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6564zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
66 2cn 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
67 nn0cn 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  CC )
69 mulcl 9476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
7066, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
7166, 57mulcli 9501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
7365, 70, 72addassd 9518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
7459, 73syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
75 2nn0 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN0
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
77 nn0mulcl 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
7875, 76, 77sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
79 uzaddcl 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  n )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8062, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
8128, 80sseldi 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ )
8281zcnd 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
8357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
8482, 83, 83addassd 9518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) ) )
85 2cnd 10504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
8685, 68, 83adddid 9520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8786oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
8874, 84, 873eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
89 peano2nn0 10730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
91 nn0mulcl 10726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9275, 90, 91sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
93 uzaddcl 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9462, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9594, 27syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  Z )
9688, 95eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z )
9756, 96ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
98 peano2uz 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9980, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
10099, 27syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z )
10156, 100ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
10297, 101resubcld 9886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
103 0red 9497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
10440adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
10551ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
10680, 27syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  Z )
107105, 106ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
108104, 107remulcld 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR )
109 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
110109ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
111110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )
)
112 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )
113112fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
114 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
115113, 114breq12d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
116115rspcv 3173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
117100, 111, 116sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
11897, 101suble0d 10040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
119117, 118mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0 )
120102, 103, 108, 119leadd2dd 10064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 ) )
121 seqp1 11937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
12299, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
123 seqp1 11937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
12480, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
125124oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
12788fveq2d 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
128107recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
12942ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( G `  k )
) )
131 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
132 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
133132, 114oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
134131, 133eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
135134rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
136100, 130, 135sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
137 neg1cn 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
13937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0 )
140138, 139, 81expp1zd 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 ) )
14136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
142141, 139, 81reexpclzd 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
143142recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
144 mulcom 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
145143, 137, 144sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
146143mulm1d 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
147140, 145, 1463eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
148147oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
149101recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
150 mulneg12 9893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
151143, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
152136, 148, 1513eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
153101renegcld 9885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
154142, 153remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
155152, 154eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
156155recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
157 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
158 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
159 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
160158, 159oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
161157, 160eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
162161rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16396, 130, 162sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
16481peano2zd 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ZZ )
165138, 139, 164expp1zd 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
166147oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
) )
167 mul2neg 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  1 ) )
168143, 57, 167sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 ) )
169143mulid1d 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
170168, 169eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
171165, 166, 1703eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
172171oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
173163, 172eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
174142, 97remulcld 9524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
175173, 174eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
176175recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
177128, 156, 176addassd 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
178126, 127, 1773eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
179178oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
180104recnd 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
181155, 175readdcld 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
182181recnd 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
183180, 128, 182adddid 9520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
184180, 156, 176adddid 9520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
185152oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) ) )
186153recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
187180, 143, 186mulassd 9519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
188185, 187eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
18985, 65, 68adddid 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( N  +  n ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
190652timesd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
191190oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( N  +  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
19265, 65, 70addassd 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )
193189, 191, 1923eqtrrd 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )
194193oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) ) )
195 expaddz 12024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
196138, 139, 64, 81, 195syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) ) )
197 2z 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
199 nn0z 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
200 zaddcl 10795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  +  n
)  e.  ZZ )
20131, 199, 200syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  n )  e.  ZZ )
202 expmulz 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( N  +  n
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( N  +  n
) ) )
203138, 139, 198, 201, 202syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) ) )
204 neg1sqe1 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
205204oveq1i 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  n
) )
206 1exp 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  +  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
207201, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
208205, 207syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
209203, 208eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  1 )
210194, 196, 2093eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  1 )
211210oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
212186mulid2d 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
213188, 211, 2123eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
214173oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
21597recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
216180, 143, 215mulassd 9519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
217214, 216eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
218210oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
219215mulid2d 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
220217, 218, 2193eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
221213, 220oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
222149negcld 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
223222, 215addcomd 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  + 
-u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
224215, 149negsubd 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  +  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
225223, 224eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
226184, 221, 2253eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
227226oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
228179, 183, 2273eqtrrd 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
229108recnd 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  CC )
230229addid1d 9679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
231120, 228, 2303brtr3d 4428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
232105, 95ffvelrnd 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
233104, 232remulcld 9524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
23453adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
235 letr 9578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
236233, 108, 234, 235syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
237231, 236mpand 675 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
238237expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
239238a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
2408, 14, 20, 26, 55, 239nn0ind 10848 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
241240com12 31 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
2422413impia 1185 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971    seqcseq 11922   ^cexp 11981    ~~> cli 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  13278
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