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Theorem iseraltlem2 13517
 Description: Lemma for iseralt 13519. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example and (assuming so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4
iseralt.5
iseralt.6
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
2 2t0e0 10712 . . . . . . . . . 10
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
43oveq2d 6312 . . . . . . . 8
54fveq2d 5876 . . . . . . 7
65oveq2d 6312 . . . . . 6
76breq1d 4466 . . . . 5
87imbi2d 316 . . . 4
9 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
109oveq2d 6312 . . . . . . . 8
1110fveq2d 5876 . . . . . . 7
1211oveq2d 6312 . . . . . 6
1312breq1d 4466 . . . . 5
1413imbi2d 316 . . . 4
15 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
1615oveq2d 6312 . . . . . . . 8
1716fveq2d 5876 . . . . . . 7
1817oveq2d 6312 . . . . . 6
1918breq1d 4466 . . . . 5
2019imbi2d 316 . . . 4
21 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
2221oveq2d 6312 . . . . . . . 8
2322fveq2d 5876 . . . . . . 7
2423oveq2d 6312 . . . . . 6
2524breq1d 4466 . . . . 5
2625imbi2d 316 . . . 4
27 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12
28 uzssz 11125 . . . . . . . . . . . 12
2927, 28eqsstri 3529 . . . . . . . . . . 11
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10
3130sselda 3499 . . . . . . . . 9
3231zcnd 10991 . . . . . . . 8
3332addid1d 9797 . . . . . . 7
3433fveq2d 5876 . . . . . 6
3534oveq2d 6312 . . . . 5
36 neg1rr 10661 . . . . . . . . 9
37 neg1ne0 10662 . . . . . . . . 9
38 reexpclz 12189 . . . . . . . . 9
3936, 37, 38mp3an12 1314 . . . . . . . 8
4031, 39syl 16 . . . . . . 7
41 iseralt.2 . . . . . . . . 9
42 iseralt.6 . . . . . . . . . 10
4330sselda 3499 . . . . . . . . . . . 12
44 reexpclz 12189 . . . . . . . . . . . . 13
4536, 37, 44mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . 12
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11
47 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12
4847ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11
4946, 48remulcld 9641 . . . . . . . . . 10
5042, 49eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
5127, 41, 50serfre 12139 . . . . . . . 8
5251ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
5340, 52remulcld 9641 . . . . . 6
5453leidd 10140 . . . . 5
5535, 54eqbrtrd 4476 . . . 4
5647ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
57 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58572timesi 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160, 27syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7066, 68, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
7166, 57mulcli 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
7365, 70, 72addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . 14
7459, 73syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13
75 2nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 nn0mulcl 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7875, 76, 77sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 uzaddcl 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8062, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8128, 80sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14
83 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83, 83addassd 9635 . . . . . . . . . . . . 13
85 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685, 68, 83adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . 14
8786oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
8874, 84, 873eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12
89 peano2nn0 10857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 nn0mulcl 10853 . . . . . . . . . . . . . . 15
9275, 90, 91sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
93 uzaddcl 11162 . . . . . . . . . . . . . 14
9462, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
9594, 27syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12
9688, 95eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . 11
9756, 96ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
98 peano2uz 11159 . . . . . . . . . . . . 13
9980, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12
10099, 27syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11
10156, 100ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
10297, 101resubcld 10008 . . . . . . . . 9
103 0red 9614 . . . . . . . . 9
10440adantr 465 . . . . . . . . . 10
10551ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
10680, 27syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . 11
107105, 106ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
108104, 107remulcld 9641 . . . . . . . . 9
109 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13
110109ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
111110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
112 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
113112fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
114 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13
115113, 114breq12d 4469 . . . . . . . . . . . 12
116115rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
117100, 111, 116sylc 60 . . . . . . . . . 10
11897, 101suble0d 10164 . . . . . . . . . 10
119117, 118mpbird 232 . . . . . . . . 9
120102, 103, 108, 119leadd2dd 10188 . . . . . . . 8
121 seqp1 12125 . . . . . . . . . . . . 13
12299, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12
123 seqp1 12125 . . . . . . . . . . . . . 14
12480, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
125124oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
126122, 125eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
12788fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11
128107recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12
12942ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133132, 114oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134131, 133eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136100, 130, 135sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15
137 neg1cn 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13937a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140138, 139, 81expp1zd 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142141, 139, 81reexpclzd 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143142recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144 mulcom 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145143, 137, 144sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146143mulm1d 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147140, 145, 1463eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
149101recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 mulneg12 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151143, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
152136, 148, 1513eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . 14
153101renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15
154142, 153remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . 14
155152, 154eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13
156155recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12
157 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160158, 159oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161157, 160eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162161rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16396, 130, 162sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15
16481peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165138, 139, 164expp1zd 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167 mul2neg 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168143, 57, 167sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169143mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170168, 169eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171165, 166, 1703eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172171oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
173163, 172eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
174142, 97remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . 14
175173, 174eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13
176175recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12
177128, 156, 176addassd 9635 . . . . . . . . . . 11
178126, 127, 1773eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10
179178oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
180104recnd 9639 . . . . . . . . . 10
181155, 175readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11
182181recnd 9639 . . . . . . . . . 10
183180, 128, 182adddid 9637 . . . . . . . . 9
184180, 156, 176adddid 9637 . . . . . . . . . . 11
185152oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
186153recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15
187180, 143, 186mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14
188185, 187eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
18985, 65, 68adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
190652timesd 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191190oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19265, 65, 70addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
193189, 191, 1923eqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194193oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
195 expaddz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . 16
196138, 139, 64, 81, 195syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15
197 2z 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
199 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200 zaddcl 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20131, 199, 200syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202 expmulz 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
203138, 139, 198, 201, 202syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204 neg1sqe1 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205204oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206 1exp 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207201, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208205, 207syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16
209203, 208eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
210194, 196, 2093eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14
211210oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
212186mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . 13
213188, 211, 2123eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12
214173oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
21597recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15
216180, 143, 215mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14
217214, 216eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
218210oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
219215mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . 13
220217, 218, 2193eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12
221213, 220oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
222149negcld 9937 . . . . . . . . . . . . 13
223222, 215addcomd 9799 . . . . . . . . . . . 12
224215, 149negsubd 9956 . . . . . . . . . . . 12
225223, 224eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
226184, 221, 2253eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10
227226oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
228179, 183, 2273eqtrrd 2503 . . . . . . . 8
229108recnd 9639 . . . . . . . . 9
230229addid1d 9797 . . . . . . . 8
231120, 228, 2303brtr3d 4485 . . . . . . 7
232105, 95ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
233104, 232remulcld 9641 . . . . . . . 8
23453adantr 465 . . . . . . . 8
235 letr 9695 . . . . . . . 8
236233, 108, 234, 235syl3anc 1228 . . . . . . 7
237231, 236mpand 675 . . . . . 6
238237expcom 435 . . . . 5
239238a2d 26 . . . 4
2408, 14, 20, 26, 55, 239nn0ind 10980 . . 3
241240com12 31 . 2
2422413impia 1193 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807   wss 3471   class class class wbr 4456  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cle 9646   cmin 9824  cneg 9825  c2 10606  cn0 10816  cz 10885  cuz 11106   cseq 12110  cexp 12169   cli 13319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170 This theorem is referenced by:  iseraltlem3  13518
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