MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expp1 12729
Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
expp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))

Proof of Theorem expp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 11171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 seqp1 12678 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
3 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3eleq2s 2706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))))
6 peano2nn 10909 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7 fvconst2g 6372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
86, 7sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1)) = 𝐴)
98oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
105, 9eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
11 expnnval 12725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
126, 11sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘(𝑁 + 1)))
13 expnnval 12725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁))
1413oveq1d 6564 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}))‘𝑁) · 𝐴))
1510, 12, 143eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
16 exp1 12728 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
17 mulid2 9917 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1816, 17eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
1918adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑1) = (1 · 𝐴))
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2120oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2321, 22syl6eq 2660 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 + 1) = 1)
2423oveq2d 6565 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑1))
25 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝐴𝑁) = (𝐴↑0))
26 exp0 12726 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2725, 26sylan9eqr 2666 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴𝑁) = 1)
2827oveq1d 6564 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴𝑁) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
2919, 24, 283eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
3015, 29jaodan 822 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
311, 30sylan2b 491 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 1)) = ((𝐴𝑁) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cn 10897  0cn0 11169  cuz 11563  seqcseq 12663  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  expcllem  12733  expm1t  12750  expeq0  12752  mulexp  12761  expadd  12764  expmul  12767  leexp2r  12780  leexp1a  12781  sqval  12784  cu2  12825  i3  12828  binom3  12847  bernneq  12852  modexp  12861  expp1d  12871  faclbnd  12939  faclbnd2  12940  faclbnd4lem1  12942  faclbnd6  12948  cjexp  13738  absexp  13892  binomlem  14400  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  geolim  14440  geo2sum  14443  efexp  14670  demoivreALT  14770  rpnnen2lem11  14792  pwp1fsum  14952  prmdvdsexp  15265  pcexp  15402  prmreclem6  15463  decexp2  15617  numexpp1  15620  cnfldexp  19598  expcn  22483  mbfi1fseqlem5  23292  dvexp  23522  aaliou3lem2  23902  tangtx  24061  cxpmul2  24235  mcubic  24374  cubic2  24375  binom4  24377  dquartlem2  24379  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem1  24384  log2cnv  24471  log2ublem2  24474  log2ub  24476  basellem3  24609  chtublem  24736  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  bclbnd  24805  bposlem8  24816  dchrisum0flblem1  24997  pntlemo  25096  qabvexp  25115  rusgranumwlks  26483  psgnfzto1st  29186  oddpwdc  29743  subfacval2  30423  sinccvglem  30820  heiborlem6  32785  bfplem1  32791  pwdif  40039  2exp7  40052  perfectALTVlem1  40164  perfectALTVlem2  40165  altgsumbcALT  41924
  Copyright terms: Public domain W3C validator