Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumnunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumnunsn 29942
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
gsumncl.w (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumncl.p (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
gsumncl.b ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
gsumnunsn.a + = (+g𝑀)
gsumnunsn.l (𝜑𝐶𝐾)
gsumnunsn.c ((𝜑𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gsumnunsn (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gsumnunsn
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
2 seqp1 12678 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
4 gsumncl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
5 gsumnunsn.a . . 3 + = (+g𝑀)
6 gsumncl.w . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 peano2uz 11617 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
81, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
9 gsumncl.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
109adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑃)) → 𝐵𝐾)
11 gsumnunsn.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
1211adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
13 gsumnunsn.l . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐾)
1413ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐶𝐾)
1512, 14eqeltrd 2688 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝑃 + 1)) → 𝐵𝐾)
16 elfzp1 12261 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
171, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1))))
1817biimpa 500 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ∨ 𝑘 = (𝑃 + 1)))
1910, 15, 18mpjaodan 823 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1))) → 𝐵𝐾)
20 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)
2119, 20fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵):(𝑁...(𝑃 + 1))⟶𝐾)
224, 5, 6, 8, 21gsumval2 17103 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘(𝑃 + 1)))
23 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
249, 23fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵):(𝑁...𝑃)⟶𝐾)
254, 5, 6, 1, 24gsumval2 17103 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
26 fzssp1 12255 . . . . . . . 8 (𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1))
27 resmpt 5369 . . . . . . . 8 ((𝑁...𝑃) ⊆ (𝑁...(𝑃 + 1)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃)) = (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)
2928fveq1i 6104 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖)
30 fvres 6117 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
3130adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → (((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) ↾ (𝑁...𝑃))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖))
3229, 31syl5reqr 2659 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)) → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)‘𝑖))
331, 32seqfveq 12687 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵))‘𝑃))
3425, 33eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) = (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃))
35 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))
36 eluzfz2 12220 . . . . . 6 ((𝑃 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
378, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 + 1) ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)))
3835, 11, 37, 13fvmptd 6197 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)) = 𝐶)
3938eqcomd 2616 . . 3 (𝜑𝐶 = ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1)))
4034, 39oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶) = ((seq𝑁( + , (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵))‘𝑃) + ((𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)‘(𝑃 + 1))))
413, 22, 403eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...(𝑃 + 1)) ↦ 𝐵)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁...𝑃) ↦ 𝐵)) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cmpt 4643  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-gsum 15926
This theorem is referenced by:  signstfvn  29972
  Copyright terms: Public domain W3C validator