Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfzf 29458
 Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfzf.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfzf ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 1
2 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
31, 2esumeq1d 29424 . . . . 5 (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘))
4 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
53, 4eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑛
8 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
97, 8esumeq1d 29424 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
10 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
119, 10eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
1513, 14esumeq1d 29424 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
16 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
1715, 16eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
1817imbi2d 329 . . 3 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑁
20 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
2119, 20esumeq1d 29424 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘))
22 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
2321, 22eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
2423imbi2d 329 . . 3 (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
26 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥{1}
27 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑘{1}
28 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑘)
29 esumfzf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐹
30 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘𝑥
3129, 30nffv 6110 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑥)
3225, 26, 27, 28, 31cbvesum 29431 . . . . 5 Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥)
33 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
3433fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
35 1z 11284 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37 1nn 10908 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
38 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
3937, 38mpan2 703 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
4034, 36, 39esumsn 29454 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
4132, 40syl5eq 2656 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
42 fzsn 12254 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
4335, 42ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
44 esumeq1 29423 . . . . 5 ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘)
46 seq1 12676 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4735, 46ax-mp 5 . . . 4 (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
4841, 45, 473eqtr4g 2669 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50 nnuz 11599 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5149, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
52 seqp1 12678 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5453adantr 480 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
5655oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
5857nfci 2741 . . . . . . . . . . 11 𝑘
59 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
6029, 58, 59nff 5954 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
6157, 60nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62 fzsuc 12258 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6461, 63esumeq1d 29424 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘))
65 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
66 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘{(𝑛 + 1)}
67 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
69 snex 4835 . . . . . . . . . 10 {(𝑛 + 1)} ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
71 fzp1disj 12269 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
73 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
74 fzssnn 12256 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
7537, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ⊆ ℕ
76 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
7775, 76sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7873, 77ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
79 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
80 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)})
81 velsn 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
8280, 81sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
83 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
8483peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8582, 84eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8679, 85ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
8761, 65, 66, 68, 70, 72, 78, 86esumsplit 29442 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)))
88 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑥{(𝑛 + 1)}
8925, 88, 66, 28, 31cbvesum 29431 . . . . . . . . . 10 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥)
90 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
9190fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9249peano2nnd 10914 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
93 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9493, 92ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
9591, 92, 94esumsn 29454 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9689, 95syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9796oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9864, 87, 973eqtrrd 2649 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
9998adantr 480 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
10054, 56, 993eqtr2rd 2651 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
101100exp31 628 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
102101a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
1036, 12, 18, 24, 48, 102nnind 10915 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
104103impcom 445 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esumfsup  29459  esumsup  29478
 Copyright terms: Public domain W3C validator