Theorem cnrecnv 13753

Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 11703. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	cnref1o 11703	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3		f1ocnv 6062	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → ◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4		f1of 6050	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	feqmptd 6159	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)))
8	7	trud 1484	. 2 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧))
9		df-ov 6552	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10		recl 13698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11		imcl 13699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
13		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
14	13	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
15		ovex 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ V
16	12, 14, 1, 15	ovmpt2 6694	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
17	10, 11, 16	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
18	9, 17	syl5eqr 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
19		replim 13704	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
20	18, 19	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
21	20	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (◡𝐹‘𝑧))
22		opelxpi 5072	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23	10, 11, 22	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24		f1ocnvfv1 6432	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
25	2, 23, 24	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
26	21, 25	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
27	26	mpteq2ia 4668	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
28	8, 27	eqtri 2632	1 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Syntax hints:   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  ℜcre 13685  ℑcim 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689

This theorem is referenced by:  cnrehmeo  22560  cnheiborlem  22561  mbfimaopnlem  23228