Theorem fovrnd 6704

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 6702	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   × cxp 5036  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  eroveu  7729  fseqenlem1  8730  rlimcn2  14169  homarel  16509  curf1cl  16691  curf2cl  16694  hofcllem  16721  yonedalem3b  16742  gasubg  17558  gacan  17561  gapm  17562  gastacos  17566  orbsta  17569  galactghm  17646  sylow1lem2  17837  sylow2alem2  17856  sylow3lem1  17865  efgcpbllemb  17991  frgpuplem  18008  frlmbas3  19934  mamucl  20026  mamuass  20027  mamudi  20028  mamudir  20029  mamuvs1  20030  mamuvs2  20031  mamulid  20066  mamurid  20067  mamutpos  20083  matgsumcl  20085  mavmulcl  20172  mavmulass  20174  mdetleib2  20213  mdetf  20220  mdetdiaglem  20223  mdetrlin  20227  mdetrsca  20228  mdetralt  20233  mdetunilem7  20243  maducoeval2  20265  madugsum  20268  madurid  20269  tsmsxplem2  21767  isxmet2d  21942  ismet2  21948  prdsxmetlem  21983  comet  22128  ipcn  22853  ovoliunlem2  23078  itg1addlem4  23272  itg1addlem5  23273  mbfi1fseqlem5  23292  limccnp2  23462  midcl  25469  pstmxmet  29268  cvmlift2lem9  30547  isbnd3  32753  prdsbnd  32762  iscringd  32967  rmxycomplete  36500  rmxyadd  36504