Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmulcl 20172
 Description: Multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector results in an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmulcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmulcl.m × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmulcl.t · = (.r𝑅)
mavmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mavmulcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mavmulcl.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmulcl.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
Assertion
Ref Expression
mavmulcl (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))

Proof of Theorem mavmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmulcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmulcl.m . . 3 × = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 mavmulcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 mavmulcl.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 mavmulcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mavmulcl.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
7 mavmulcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
8 mavmulcl.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mavmulval 20170 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))))
10 ringcmn 18404 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
115, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
136adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
145ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 3matbas2 20046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
166, 5, 15syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
177, 16eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
18 elmapi 7765 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
2019ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐵)
21 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
2420, 22, 23fovrnd 6704 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
25 elmapi 7765 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
268, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝑁𝐵)
2726ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:𝑁𝐵)
2827, 23ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
293, 4ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌𝑗) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3014, 24, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
3130ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁) → ∀𝑗𝑁 ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)) ∈ 𝐵)
323, 12, 13, 31gsummptcl 18189 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
3332ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵)
34 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
353, 34eqeltri 2684 . . . . 5 𝐵 ∈ V
36 elmapg 7757 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
3735, 6, 36sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁) ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵))
38 eqid 2610 . . . . 5 (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))))
3938fmpt 6289 . . . 4 (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))):𝑁𝐵)
4037, 39syl6rbbr 278 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖𝑁 (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗)))) ∈ 𝐵 ↔ (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁)))
4133, 40mpbid 221 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗) · (𝑌𝑗))))) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
429, 41eqeltrd 2688 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032   maVecMul cmvmul 20165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-mvmul 20166 This theorem is referenced by:  mavmulass  20174  slesolex  20307
 Copyright terms: Public domain W3C validator