MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppsssn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppsssn 7217
Description: Show that the support of a function is a subset of a singleton. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppsssn.n ((𝜑𝑘𝐴𝑘𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
suppsssn.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppsssn (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppsssn
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4260 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊}) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝑊))
2 suppsssn.n . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴𝑘𝑊) → 𝐵 = 𝑍)
323expb 1258 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
41, 3sylan2b 491 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑊})) → 𝐵 = 𝑍)
5 suppsssn.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
64, 5suppss2 7216 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ {𝑊})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  wss 3540  {csn 4125  cmpt 4643  (class class class)co 6549   supp csupp 7182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183
This theorem is referenced by:  uvcresum  19951  mamulid  20066  mamurid  20067
  Copyright terms: Public domain W3C validator