Theorem mon1psubm 36803

Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mon1psubm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mon1psubm.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
mon1psubm.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mon1psubm	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mon1psubm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		mon1psubm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	mon1pcl 23708	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
5	4	ssriv 3572	. . 3 ⊢ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
8		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
9	1, 7, 3, 8	mon1pid 36802	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(1r‘𝑃)) = 0))
10	9	simpld 474	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ∈ 𝑀)
11	1	ply1nz 23685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12		nzrring 19082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
15	4	ad2antrl 760	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16		simprr 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ 𝑀)
17	5, 16	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
19	2, 18	ringcl 18384	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23		nzrring 19082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	1, 22, 3	mon1pn0 23710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
26	25	ad2antrl 760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
27		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
28	8, 27, 3	mon1pldg 23713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
29	28	ad2antrl 760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) = (1r‘𝑅))
30		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
31	21, 30	unitrrg 19114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
33	30, 27	1unit 18481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
34	23, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
35	32, 34	sseldd 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (1r‘𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
37	29, 36	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
38	1, 22, 3	mon1pn0 23710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
39	38	ad2antll 761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
40	8, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39	deg1mul2 23678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)))
41	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 23652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
42	24, 15, 26, 41	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
43	8, 1, 22, 2	deg1nn0cl 23652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
44	24, 17, 39, 43	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
45	42, 44	nn0addcld 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
46	40, 45	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
47	8, 1, 22, 2	deg1nn0clb 23654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
48	24, 20, 47	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
49	46, 48	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
50	40	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))))
51		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	1, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39	coe1mul4 23664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))) = (((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))))
53	8, 27, 3	mon1pldg 23713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑀 → ((coe1‘𝑦)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
54	53	ad2antll 761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘𝑦)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)) = (1r‘𝑅))
55	29, 54	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
57	56, 27	ringidcl 18391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	23, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59	56, 51, 27	ringlidm 18394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
60	23, 58, 59	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
61	60	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
62	55, 61	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑦)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
63	52, 62	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦))) = (1r‘𝑅))
64	50, 63	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅))
65	1, 2, 22, 8, 3, 27	ismon1p 23706	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))‘(( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦))) = (1r‘𝑅)))
66	20, 49, 64, 65	syl3anbrc 1239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥 ∈ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
67	66	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
68		mon1psubm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
69	68	ringmgp 18376	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
70	13, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
71	68, 2	mgpbas 18318	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
72	68, 7	ringidval 18326	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑈)
73	68, 18	mgpplusg 18316	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑈)
74	71, 72, 73	issubm 17170	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
75	70, 74	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r‘𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑀 (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
76	6, 10, 67, 75	mpbir3and 1238	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  NzRingcnzr 19078  RLRegcrlreg 19100  Poly₁cpl1 19368  coe₁cco1 19369   deg₁ cdg1 23618  Monic_1pcmn1 23689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-nzr 19079  df-rlreg 19104  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620  df-mon1 23694

This theorem is referenced by: (None)