Theorem mgpplusg 18316

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		plusgid 15804	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
5	4	setsid 15742	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6	3, 5	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7, 1	mgpval 18315	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
9	8	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	6, 9	syl6eqr 2662	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
11	4	str0 15739	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
12		fvprc 6097	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
13	1, 12	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6097	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
15	7, 14	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
16	15	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2670	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
18	10, 17	pm2.61i 175	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  mulGrpcmgp 18312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mgp 18313

This theorem is referenced by:  dfur2  18327  srgcl  18335  srgass  18336  srgideu  18337  srgidmlem  18343  issrgid  18346  srg1zr  18352  srgpcomp  18355  srgpcompp  18356  srgbinomlem4  18366  srgbinomlem  18367  csrgbinom  18369  ringcl  18384  crngcom  18385  iscrng2  18386  ringass  18387  ringideu  18388  ringidmlem  18393  isringid  18396  ringidss  18400  ringpropd  18405  crngpropd  18406  isringd  18408  iscrngd  18409  ring1  18425  gsummgp0  18431  prdsmgp  18433  oppr1  18457  unitgrp  18490  unitlinv  18500  unitrinv  18501  rngidpropd  18518  invrpropd  18521  dfrhm2  18540  rhmmul  18550  isrhm2d  18551  isdrng2  18580  drngmcl  18583  drngid2  18586  isdrngd  18595  subrgugrp  18622  issubrg3  18631  cntzsubr  18635  rhmpropd  18638  rlmscaf  19029  sraassa  19146  assamulgscmlem2  19170  psrcrng  19234  mplcoe3  19287  mplcoe5lem  19288  mplcoe5  19289  mplcoe2  19290  mplbas2  19291  evlslem1  19336  mpfind  19357  coe1tm  19464  ply1coe  19487  xrsmcmn  19588  cnfldexp  19598  cnmsubglem  19628  expmhm  19634  nn0srg  19635  rge0srg  19636  expghm  19663  psgnghm  19745  psgnco  19748  evpmodpmf1o  19761  ringvcl  20023  mamuvs2  20031  mat1mhm  20109  scmatmhm  20159  mdetdiaglem  20223  mdetrlin  20227  mdetrsca  20228  mdetralt  20233  mdetunilem7  20243  mdetuni0  20246  m2detleib  20256  invrvald  20301  mat2pmatmhm  20357  pm2mpmhm  20444  chfacfpmmulgsum2  20489  cpmadugsumlemB  20498  cnmpt1mulr  21795  cnmpt2mulr  21796  reefgim  24008  efabl  24100  efsubm  24101  amgm  24517  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  dchrelbas3  24763  dchrzrhmul  24771  dchrmulcl  24774  dchrn0  24775  dchrinvcl  24778  dchrptlem2  24790  dchrsum2  24793  sum2dchr  24799  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  rdivmuldivd  29122  ringinvval  29123  dvrcan5  29124  rhmunitinv  29153  iistmd  29276  xrge0iifmhm  29313  xrge0pluscn  29314  pl1cn  29329  cntzsdrg  36791  isdomn3  36801  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804  amgm2d  37523  amgm3d  37524  amgm4d  37525  isringrng  41671  rngcl  41673  isrnghmmul  41683  lidlmmgm  41715  lidlmsgrp  41716  2zrngmmgm  41736  2zrngmsgrp  41737  2zrngnring  41742  cznrng  41747  cznnring  41748  mgpsumunsn  41933  invginvrid  41942  amgmlemALT  42358  amgmw2d  42359